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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 【新高考复习】专题08 基本不等式综合必刷100题(解析版)
专题08基本不等式综合必刷100题任务一:善良模式(基础)1-40题一、单选题1.已知,xy均为正实数,且满足4xy,则22loglog(4)xy的最大值为()A.2B.3C.4D.5【答案】C【分析】根据题意,结合基本不等式求得4xy,再利用对数的运算,即可求解.【详解】由,xy均为正实数,且满足4xy,可得2()42xyxy„,当且仅当2xy时,等号成立,则2222loglog4log4log444xyxy,即22loglog(4)xy的最大值为4.故选:C2.已知0a,0b,且44ab,则11ab最小值为()A.2B.94C.8D.9【答案】B【分析】根据条件将多项式写成11111(4)()4ababab的形式,利用基本不等式求得最小值.【详解】由题知,1111114149(4)()(5)(25)4444babaababababab,当且仅当2ab,即43a,23b时,等号成立,故选:B3.已知圆C1:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C2:x2+y2-2by+b2-1=0只有一条公切线,若a,b∈R且ab≠0,则21a+21b的最小值为()A.3B.8C.4D.9【答案】D【分析】根据两圆公切线的性质,结合基本不等式进行求解即可.【详解】因为圆C1:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C2:x2+y2-2by+b2-1=0只有一条公切线,所以两圆相内切,其中C1(-2a,0),r1=2;C2(0,b),r2=1,故|C1C2|=224ab,由题设可知222242114abab,2222222222221144)()5942(5ababababbaba当且仅当a2=2b2时等号成立.故选:D.4.已知1x,0y,且1211xy,则21xy的最小值为()A.9B.10C.11D.226【答案】A【分析】利用“乘1法”将问题转化为求12(1)21xyxy的最小值,然后展开利用基本不等式求解.【详解】1xQ,10x,又0y,且1211xy,1222(1)22(1)21(1)2552111yxyxxyxyxyxyxy9,当且仅当22(1)1yxxy,解得4x,3y时等号成立,故21xy的最小值为9.故选:A.【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:(1)“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.5.已知0ab,函数axye在0x处的切线与直线20xby平行,则22abab的最小值是()A.2B.3C.4D.5【答案】C【分析】结合复合函数求导求出函数的导函数,进而求出切线的斜率,然后根据两直线平行斜率相等得到2ab,进而结合均值不等式即可求出结果.【详解】因为axye,则axyae,因为切点为0,1,则切线的斜率为ka,又因为切线与直线20xby平行,所以2ab,即2ab,所以22224424ababababababababab,当且仅当24ababab,即3131ab时,等号成立,则22abab的最小值是4,故选:C.6.已知直线100,0axbyab与圆224xy相切,则22loglogab的最大值为()A.3B.2C.2D.3【答案】D【分析】由直线与圆相切可得2214ab,然后利用均值不等式可得18ab,从而可求22loglogab的最大值.【详解】解:因为直线100,0axbyab与圆224xy相切,所以2212ab,即2214ab,因为222abab,所以18ab,所以22221loglogloglog38abab,所以22loglogab的最大值为3,故选:D.7.若0x,0y且1xy,则下列结论中正确的是()A.xy的最大值是2B.xy的最小值是14C.22xy的最小值是2D.21xy的最小值是42【答案】A【分析】根据已知条件,结合基本不等式逐个分析判断即可【详解】对于A,因为0x,0y且1xy,所以222()2xyxyxyxy,所以2xy,当且仅当12xy时取等号,所以xy的最大值是2,所以A正确,对于B,0x,0y且1xy,所以12xyxy,即14xy,当且仅当12xy时取等号,所以xy的最大值是14,所以B错误,对于C,因为0x,0y且1xy,所以2221xyxy,所以2212xyxy,由选项B的解答可知14xy,所以2212xy,当且仅当12xy时取等号,所以22xy的最小值是12,所以C错误,对于D,因为0x,0y且1xy,所以212122()332322yxyxxyxyxyxyxy,当且仅当2yxxy,即22,21xy时取等号,所以21xy的最小值为322,所以D错误,故选:A8.已知a,b为正实数,且满足326ab,则23ab的最小值为()A.2B.22C.4D.32【答案】C【分析】根据题意可得123ab,由232323ababab,展开利用基本不等式即可求解.【详解】由326ab,可得123ab,232323232224233232abbabaabababab,当且仅当2332baab且326ab,即31,2ab时等号成立.故选:C.9.已知在OAB中,动点C满足ACBC,其中0,且OCmOAnOB,则12mn的最小值为()A.323B.223C.322D.222【答案】C【分析】由题意可得A,B,C三点共线,且C点在线段AB上,于是1mn,且,0mn,然后利用均值不等式即可求解.【详解】解:由题意可得A,B,C三点共线,且C点在线段AB上,于是1mn,且,0mn,所以12122()12322nmmnmnmnmn,当且仅当2nmmn,即21m,22n时取等号,故选:C.10.若实数,xy满足221xyxy,则xy的取值范围是()A.2323,33B.2323,33C.2222,33D.2222,33【答案】A【分析】由2221()1xyxyxyxy,令xyt,利用不等式的性质即可求得t的范围.【详解】解:2221()1xyxyxyxy,又2()2xyxy„,22()1()2xyxy„,令xyt,则2244tt„,232333t剟,即232333xy剟,当且仅当xy时,取等号,xy的取值范围是23[3,23]3.故选:A.11.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是()A.1B.3C.6D.12【答案】B【分析】由x2+2xy-3=0,可得y=232xx,则2x+y=2x+22333332222xxxxxx,再利用基本不等式即可得出答案.【详解】解:∵x2+2xy-3=0,∴y=232xx,∴2x+y=2x+22333332222xxxxxx23322xx=3,当且仅当3322xx,即x=1时取等号.故选:B.12.已知1x,11yxx,则y的最小值是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】利用基本不等式求11yxx的最小值.【详解】∵1x,∴10x,∴1112(1)211xxxx(当且仅当2x时等号成立),∴11=11311yxxxx(当且仅当2x时等号成立),∴11yxx的最小值为3,故选:C.13.若1lnlnln2()aabb,则ab的最小值为()A.2B.4C.8D.16【答案】C【分析】法一:由基本不等式即可求出结果;法二“1”的妙用结合均值不等式即可求出结果.【详解】解析:法一:由题意,得0a,0b,且lnlnln2abab,即lnln2abab,亦即2abab,由基本不等式,得2()22abab,解得8ab(当且仅当4ab时,取等号),所以ab的最小值为8.法二:由2abab,得1121ab.因此11242(448)bbbbabababaaaa(当且仅当4ab时,取等号),所以ab的最小值为8.故选:C.14.若正数x,y满足315xy,则34xy的最小值是()A.245B.285C.5D.25【答案】C【分析】由31343415xyxyxy配凑出符合基本不等式的形式,利用基本不等式求得结果.【详解】131131213123434131325555xyxyxyxyxyyxyx(当且仅当312xyyx,即21xy时取等号),34xy的最小值为5.故选:C.15.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tan3tanAC=-,2ac,则ABC面积的最大值为()A.12B.32C.1D.2【答案】A【分析】根据题意得到2tantan()13tanlanBACCC,结合基本不等式,求得π0,6B,结合面积公式,即可求解.【详解】在ABC中,满足tan3tanAC=-,且()BAC,可得2tantan2tan223tantan()11tantan13tan3233tanlanACCBACACCCC,当且仅当3tan3C时取等号,所以π0,6B,可得1sin2B,所以1111sin22222ABCSacB△.故选:A.16.设a,b为正数,若圆224210xyxy关于直线10axby对称,则2abab的最小值为()A.9B.8C.6D.10【答案】A【分析】求出圆的圆心坐标,得到,ab的关系,然后利用基本不等式求解不等式的最值即可.【详解】解:圆224210xyxy,即22214xy,所以圆心为(2,1),所以210ab,即21ab,因为0a、0b,则22222(2)(2)22522259ababababababababababab…,当且仅当13ba时,取等号.故选:A.17.已知0,0ab,且1ab,则34abab的最大值为()A.310B.38C.928D.13【答案】D【分析】先化简33414ababab,由4141()()ababab,结合基本不等式,求得419ab,进而求得34abab341ab的最大值.【详解】由0,0ab,可得3334414ababababab,又由1ab,可得414144()()5529babaababababab,当且仅当4baab时,即21,33ab时,等号成立,所以3314193ab,即34abab的最大值为13.故选:D.18.已知0x,0y,且21
本文标题:【新高考复习】专题08 基本不等式综合必刷100题(解析版)
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