【新高考复习】专题08 基本不等式综合必刷100题(解析版)

专题08基本不等式综合必刷100题任务一:善良模式(基础)1-40题一、单选题1．已知,xy均为正实数，且满足4xy，则22loglog(4)xy的最大值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【分析】根据题意，结合基本不等式求得4xy，再利用对数的运算，即可求解.【详解】由,xy均为正实数，且满足4xy，可得2()42xyxy„，当且仅当2xy时，等号成立，则2222loglog4log4log444xyxy，即22loglog(4)xy的最大值为4.故选：C2．已知0a，0b，且44ab，则11ab最小值为（）A．2B．94C．8D．9【答案】B【分析】根据条件将多项式写成11111(4)()4ababab的形式，利用基本不等式求得最小值.【详解】由题知，1111114149(4)()(5)(25)4444babaababababab，当且仅当2ab，即43a，23b时，等号成立，故选：B3．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则21a＋21b的最小值为（）A．3B．8C．4D．9【答案】D【分析】根据两圆公切线的性质，结合基本不等式进行求解即可.【详解】因为圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，所以两圆相内切，其中C1(－2a，0)，r1＝2；C2(0，b)，r2＝1，故|C1C2|＝224ab，由题设可知222242114abab，2222222222221144)()5942(5ababababbaba当且仅当a2＝2b2时等号成立．故选：D.4．已知1x，0y，且1211xy，则21xy的最小值为（）A．9B．10C．11D．226【答案】A【分析】利用“乘1法”将问题转化为求12(1)21xyxy的最小值，然后展开利用基本不等式求解．【详解】1xQ，10x，又0y，且1211xy，1222(1)22(1)21(1)2552111yxyxxyxyxyxyxy9，当且仅当22(1)1yxxy，解得4x，3y时等号成立，故21xy的最小值为9．故选：A．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5．已知0ab，函数axye在0x处的切线与直线20xby平行，则22abab的最小值是（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【分析】结合复合函数求导求出函数的导函数，进而求出切线的斜率，然后根据两直线平行斜率相等得到2ab，进而结合均值不等式即可求出结果.【详解】因为axye，则axyae，因为切点为0,1，则切线的斜率为ka，又因为切线与直线20xby平行，所以2ab，即2ab，所以22224424ababababababababab，当且仅当24ababab，即3131ab时，等号成立，则22abab的最小值是4，故选：C.6．已知直线100,0axbyab与圆224xy相切，则22loglogab的最大值为（）A．3B．2C．2D．3【答案】D【分析】由直线与圆相切可得2214ab，然后利用均值不等式可得18ab，从而可求22loglogab的最大值.【详解】解：因为直线100,0axbyab与圆224xy相切，所以2212ab，即2214ab，因为222abab，所以18ab，所以22221loglogloglog38abab，所以22loglogab的最大值为3，故选：D.7．若0x，0y且1xy，则下列结论中正确的是（）A．xy的最大值是2B．xy的最小值是14C．22xy的最小值是2D．21xy的最小值是42【答案】A【分析】根据已知条件，结合基本不等式逐个分析判断即可【详解】对于A，因为0x，0y且1xy，所以222()2xyxyxyxy，所以2xy，当且仅当12xy时取等号，所以xy的最大值是2，所以A正确，对于B，0x，0y且1xy，所以12xyxy，即14xy，当且仅当12xy时取等号，所以xy的最大值是14，所以B错误，对于C，因为0x，0y且1xy，所以2221xyxy，所以2212xyxy，由选项B的解答可知14xy，所以2212xy，当且仅当12xy时取等号，所以22xy的最小值是12，所以C错误，对于D，因为0x，0y且1xy，所以212122()332322yxyxxyxyxyxyxy，当且仅当2yxxy，即22,21xy时取等号，所以21xy的最小值为322，所以D错误，故选：A8．已知a，b为正实数，且满足326ab，则23ab的最小值为（）A．2B．22C．4D．32【答案】C【分析】根据题意可得123ab，由232323ababab，展开利用基本不等式即可求解.【详解】由326ab，可得123ab，232323232224233232abbabaabababab，当且仅当2332baab且326ab，即31,2ab时等号成立．故选：C．9．已知在OAB中，动点C满足ACBC，其中0，且OCmOAnOB，则12mn的最小值为（）A．323B．223C．322D．222【答案】C【分析】由题意可得A，B，C三点共线，且C点在线段AB上，于是1mn，且,0mn，然后利用均值不等式即可求解.【详解】解：由题意可得A，B，C三点共线，且C点在线段AB上，于是1mn，且,0mn，所以12122()12322nmmnmnmnmn，当且仅当2nmmn，即21m，22n时取等号，故选：C.10．若实数,xy满足221xyxy，则xy的取值范围是（）A．2323,33B．2323,33C．2222,33D．2222,33【答案】A【分析】由2221()1xyxyxyxy，令xyt，利用不等式的性质即可求得t的范围．【详解】解：2221()1xyxyxyxy，又2()2xyxy„，22()1()2xyxy„，令xyt，则2244tt„，232333t剟，即232333xy剟，当且仅当xy时，取等号，xy的取值范围是23[3，23]3．故选：A．11．已知正数x，y满足x2+2xy-3=0，则2x+y的最小值是（）A．1B．3C．6D．12【答案】B【分析】由x2+2xy-3=0，可得y=232xx，则2x+y=2x+22333332222xxxxxx，再利用基本不等式即可得出答案.【详解】解：∵x2+2xy-3=0，∴y=232xx，∴2x+y=2x+22333332222xxxxxx23322xx=3，当且仅当3322xx，即x=1时取等号.故选：B.12．已知1x，11yxx，则y的最小值是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】利用基本不等式求11yxx的最小值.【详解】∵1x，∴10x，∴1112(1)211xxxx(当且仅当2x时等号成立)，∴11=11311yxxxx(当且仅当2x时等号成立)，∴11yxx的最小值为3，故选：C.13．若1lnlnln2()aabb，则ab的最小值为（）A．2B．4C．8D．16【答案】C【分析】法一：由基本不等式即可求出结果；法二“1”的妙用结合均值不等式即可求出结果.【详解】解析：法一：由题意，得0a，0b，且lnlnln2abab，即lnln2abab，亦即2abab，由基本不等式，得2()22abab，解得8ab（当且仅当4ab时，取等号），所以ab的最小值为8.法二：由2abab，得1121ab.因此11242(448)bbbbabababaaaa（当且仅当4ab时，取等号），所以ab的最小值为8.故选：C.14．若正数x，y满足315xy，则34xy的最小值是（）A．245B．285C．5D．25【答案】C【分析】由31343415xyxyxy配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.【详解】131131213123434131325555xyxyxyxyxyyxyx（当且仅当312xyyx，即21xy时取等号），34xy的最小值为5.故选：C.15．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tan3tanAC=-，2ac，则ABC面积的最大值为（）A．12B．32C．1D．2【答案】A【分析】根据题意得到2tantan()13tanlanBACCC，结合基本不等式，求得π0,6B，结合面积公式，即可求解.【详解】在ABC中，满足tan3tanAC=-，且()BAC，可得2tantan2tan223tantan()11tantan13tan3233tanlanACCBACACCCC，当且仅当3tan3C时取等号，所以π0,6B，可得1sin2B，所以1111sin22222ABCSacB△．故选：A.16．设a，b为正数，若圆224210xyxy关于直线10axby对称，则2abab的最小值为（）A．9B．8C．6D．10【答案】A【分析】求出圆的圆心坐标，得到,ab的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可．【详解】解：圆224210xyxy，即22214xy，所以圆心为(2,1)，所以210ab，即21ab，因为0a、0b，则22222(2)(2)22522259ababababababababababab…，当且仅当13ba时，取等号．故选：A．17．已知0,0ab，且1ab，则34abab的最大值为（）A．310B．38C．928D．13【答案】D【分析】先化简33414ababab，由4141()()ababab，结合基本不等式，求得419ab，进而求得34abab341ab的最大值.【详解】由0,0ab，可得3334414ababababab，又由1ab，可得414144()()5529babaababababab，当且仅当4baab时，即21,33ab时，等号成立，所以3314193ab，即34abab的最大值为13.故选：D.18．已知0x，0y，且21