【新高考复习】专题15 数列构造求解析式必刷100题(解析版)

专题15数列构造求解析式必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题一、单选题1．数列na中，121nnaa，11a，则6a（）A．32B．62C．63D．64【答案】C【分析】把121nnaa化成1121nnaa，故可得1na为等比数列，从而得到6a的值.【详解】数列na中，121nnaa，故1121nnaa，因为11a，故1120a，故10na，所以1121nnaa，所以1na为等比数列，公比为2，首项为2.所以12nna即21nna，故663a，故选C.2．在数列na中，11a，且121nnaa，则na的通项为（）A．21nnaB．2nnaC．21nnaD．12nna【答案】A【分析】依题意可得1121nnaa，即可得到1na是以2为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；【详解】解：∵121nnaa，∴1121nnaa，由11a，得112a，∴数列1na是以2为首项，2为公比的等比数列，∴11222nnna，即21nna．故选：A3．设数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是（）A．415B．425C．435D．445【答案】D【分析】首先证得{nan－(n－1)an－1}为常数列，得到1(15)nnnana，进而证得数列nna是以1为首项，5为公差的等差数列，从而求出通项公式，进而求出结果.【详解】因为2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，所以nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan故数列{nan－(n－1)an－1}为常数列，且2125aa，所以1(15)nnnana，即1(15)nnnana，因此数列nna是以1为首项，5为公差的等差数列，所以15154nnnna，因此54nann所以a20＝520424442055.故选：D．4．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，则通项an可能是（）A．5－3nB．3·2n－1－1C．5－3n2D．5·2n－1－3【答案】D【分析】用构造法求通项.【详解】设12nnaxax，则12nnaax，因为an＋1＝2an＋3，所以3x，所以3na是以13a为首项，2为公比的等比数列，1352nna，所以1523nna－故选：D5．已知数列na满足：*1121,2nnnaaanaN，则数列na的通项公式为（）A．11nanB．11nanC．1nnanD．21nan【答案】D【分析】对122nnnaaa两边取倒数后，可以判断1na是首项为1，公差为12的等差数列，即可求得.【详解】由数列na满足：*1121,2nnnaaanaN，两边取倒数得：11112nnaa，即1111=2nnaa，所以数列1na是首项为1，公差为12的等差数列，所以11111122nnnaa，所以21nan故选:D6．已知数列na中，11111,1()nnanNaa，则10a（）A．17B．18C．19D．110【答案】D【分析】令1()nnbnNa，由等差数列的性质及通项可得nbn，即可得解.【详解】令1()nnbnNa，则11nnbb，11b，所以数列nb是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1,nnbnan，所以10110a.故选：D.7．已知数列 na的前n项和为nS，11a，22a，12343nnnaaan，则10S（）A．10415B．11415C．1041D．1141【答案】A【分析】由已知得出数列1{}nnaa是等比数列，然后可利用数列1{}nnaa的奇数项仍然为等比数列，求得和10S．【详解】因为12343nnnaaan，所以1124()nnnnaaaa，又1230aa，所以1124(3)nnnnaanaa，所以1{}nnaa是等比数列，公比为4，首项为3，则数列212{}nnaa也是等比数列，公比为2416，首项为3．所以510103(116)411165S．故选：A．8．已知数列na满足：122aa，12343nnnaaan，则910aa（）A．74B．84C．94D．104【答案】C【分析】由已知关系求得数列1{}nnaa是等比数列，由等比数列通项公式可得结论．【详解】由题意124aa，由12343nnnaaan得1124()nnnnaaaa，即1124nnnnaaaa(3)n，所以数列1{}nnaa是等比数列，仅比为4，首项为4，所以99104aa．故选：C．9．已知数列na满足递推关系，1111,2nnnnaaaaa，则2020a（）A．12018B．12019C．12020D．12021【答案】D【分析】由递推式可得数列1na为等差数列，根据等差数列的通项公式即可得结果.【详解】因为1111,2nnnnaaaaa，所以1111nnaa+-=，112a，即数列1na是以2为首项，1为公差的等差数列，所以202012201912021a，所以202012021a，故选：D.10．已知数列na满足：11a，12nnnaaa，*nN，则数列na的通项公式为（）A．112nnaB．121nnaC．21nanD．112nna【答案】B【分析】取倒数，可得11na是以2为首项，2为公比的等比数列，由此可得结论.【详解】∵12nnnaaa*nN∴12121nnnnaaaa，∴111121nnaa，∵11a∴11na是以2为首项，2为公比的等比数列，∴112nna，∴121nna.故选：B.11．数列na满足11221nnnnaa，且11a，若15na，则n的最小值为A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】依题意，得11221nnnnaa，可判断出数列{2nan}为公差是1的等差数列，进一步可求得21a1=2，即其首项为2，从而可得an=12nn，继而可得答案．【详解】∵11221nnnnaa，即11221nnnnaa，∴数列{2nan}为公差是1的等差数列，又a1=1，∴21a1=2，即其首项为2，∴2nan=2+（n﹣1）×1=n+1，∴an=12nn．∴a1=1，a2=34，a3=12，a4=516＞15，a5=632=316＜315=15，∴若15na＜，则n的最小值为5，故选C．12．已知数列na满足150a，121nnaa，则满足不等式10kkaa的k（k为正整数）的值为（）．A．3B．4C．5D．6【答案】D【分析】先求得na的通项公式，然后解不等式10kkaa求得k的值.【详解】依题意11122nnaa，11112nnaa，所以数列1na是首项为50151，公比为12的等比数列，所以111512nna，所以115112nna，由10kkaa得111511511022kk，即111021511022kk，即111102251k，345671111111111,,,,282162322642128，而12xy在R上递减，所以由111102251k可知6k.故选：D13．在数列na中，12a，121nnaa，若513na，则n的最小值是（）A．9B．10C．11D．12【答案】C【分析】根据递推关系可得数列1na是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得121nna，即求.【详解】因为121nnaa，所以1121nnaa，即1121nnaa，所以数列1na是以1为首项，2为公比的等比数列.则112nna，即121nna.因为513na，所以121513n，所以12512n，所以10n.故选：C14．已知数列na满足112,21nnnaannaN，且112a，则1na的第n项为（）A．2nB．2nC．31nD．12n【答案】A【分析】在等式1121nnnaaa两边取倒数，可推导出数列1na为等差数列，确定该数列的首项和公差，进而可求得1na.【详解】当2n且nN，在等式1121nnnaaa两边取倒数得11121112nnnnaaaa，1112nnaa，且112a，所以，数列1na为等差数列，且首项为2，公差为2，因此，12212nnna.故选：A.15．数列na中，若11a，1231nnaan，则该数列的通项na（）A．123nB．23nC．23nD．123n【答案】A【分析】据递推关系式可得132(3)nnaa，利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】因为1231nnaan，所以132(3)nnaa，即数列{3}na是以4为首项，2为公比的等比数列，所以1342nna，故1142323nnna，故选：A16．已知数列na满足11nnaa，且11a，23a，则数列na前6项的和为（）.A．115B．118C．120D．128【答案】C【分析】由题干条件求得2，得到121nnaa，构造等比数列可得数列na的通项公式，再结合等比数列求和公式即可求得数列na前6项的和.【详解】21113aa，则2，可得121nnaa，可化为1121nnaa，有12nna，得21nna，则数列na前6项的和为6262122226612012L.故选：C第II卷（非选择题）二、填空题17．已知数列na满足1132,1nnaaa，则na__________．【答案】1231n【分析】先判断出1na是首项为2，公比为3的等比数列，即可得到1123nna，从而求出na.【详解】因为1132,1nnaaa，所以1131nnaa，由1120a，所以1na为首项为2，公比为3的等比数列，所以1123nna，所以na1231n.故答案为：1231n18．已知数列na的各项均为正数，且220nnaann，则数列na的通项公式na______．【答案】1n【分析】因式分解可得10nnanan，结合0na，即得解【详解】由210nnaann，得10nnanan．又0na，所以数列na的通项公式1nan．故答案为：1n19．已知数列na满足11a，且111233nnnaan，则