【新高考复习】专题17 立体几何外接球与内切球必刷100题(解析版)

专题17立体几何外接球与内切球必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题一、单选题1．已知正四棱锥PABCD的所有顶点都在球O的球面上，且正四棱锥PABCD的底面面积为6，侧面积为67，则球O的体积为（）A．323B．2873C．1254D．12534【答案】A【分析】根据几何体的性质，转化为平面问题，利用勾股定理求解得出球的半径即可求出球的体积【详解】设底面边长为a，侧棱长为b，因为底面面积为6，所以26a，得6a，因为侧面积为67，所以2216466722b，解得23b，连接,ACBD交于点1O，连接1PO，则可得1PO平面ABCD，，所以四棱锥PABCD的高11233PO，点O在1PO上，连接OA，设球的半径为R，则222(3)(3)RR，解得2R，所以球O的体积为3344322333R，故选：A2．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC，4PABC==，3AB，ABBC，若三棱锥PABC的所有顶点都在球O上，则球O的半径为（）A．412B．34C．38D．32【答案】A【分析】将鳖臑补形为长方体,求出长方体的外接球的半径即可.【详解】由题意,将鳖臑补形为长方体如图,则三棱锥PABC的外接球即为长方体的外接球.外接球的半径为22211143441.222RPC故选：A3．已知ABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC平面ABC，3BC，22PB，5PC，则三棱锥PABC外接球的体积为（）A．10B．103C．53πD．5103【答案】D【分析】由ABC为直角三角形，可知BC中点M为ABC外接圆的圆心，又平面PBC平面ABC，所以球心在过M与平面ABC垂直的直线上，且球心为PBC的外心.利用正余弦定理求出PBC外接圆的半径即为球的半径，从而求出球的体积.【详解】解：取BC中点M，过点M做直线l垂直BC，因为ABC为直角三角形，所以点M为ABC外接圆的圆心，又平面PBC平面ABC，所以l平面ABC，根据球的性质，球心一定在垂线l上，且球心为PBC的外心.在PBC中，2222cos22PBBCPCPBCPBBC，所以2sin2PBC，则PBC外接圆的半径为15102222即外接球的半径为102，所以体积为5103V.故选：D4．三棱锥ABCD中，60ABCCBDDBA，1BCBD，ACD△的面积为114，则此三棱锥外接球的表面积为（）A．4B．16C．163D．323【答案】A【分析】利用三角形全等和三角形的面积公式求出高AE，求解直角三角形得,ACAD，利用余弦定理得出90ACBADB，可得AB为三棱锥外接球的直径，即可求出外接球的表面积.【详解】1BCBD，60CBD，1CD，又,60,ABABABCDBABCBD行o，ABCABDVV，则ACAD，取CD中点E，连接AE，又由ACD△的面积为114，可得ACD△的高112AE，则可得3ACAD，在ABC中，由余弦定理2222cos60ACABBCABBCo，2131212ABAB，解得2AB，则222ACBCAB，可得90ACB，90ADB，,ACBCADBD，根据球的性质可得AB为三棱锥外接球的直径，则半径为1，故外接球的表面积为2414.故选：A.5．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biēnào）．已知在鳖臑MABC中，MA平面ABC，4MAABBC，则该鳖臑的外接球的表面积为（）A．12B．24C．48D．96【答案】C【分析】将问题转化为棱长为4的正方体的外接球的求解问题，根据正方体外接球半径为体对角线长一半可得所求外接球半径，根据球的表面积公式可求得结果.【详解】如图所示，鳖臑MABC的外接球即为棱长为4的正方体的外接球，该鳖臑的外接球半径2221444232R，该外接球表面积2448SR.故选：C.6．已知三棱锥BACD中，2ABBCAC，2CDBD，BC的中点为E，DE的中点恰好为点A在平面BCD上的射影，则该三棱锥外接球半径的平方为（）A．1415B．2511C．2511D．1511【答案】D【分析】如图，设点A在面BCD上的射影为点F，根据题意和勾股定理求出BF、AF，设球心到平面BCD的距离为h，利用勾股定理求出h，进而可得出结果.【详解】由题意知，如图，BCD△为等腰直角三角形，E是外接圆的圆心，设点A在面BCD上的射影为点F，则点F为DE的中点，所以2215142BFBEEF，所以22511442AFABBF，设球心到平面BCD的距离为h，由BO=AO，在RtBOE△和RtAOM中，可得221111()42hh，解得21111h，所以2215111rh.故选：D7．如图，把两个完全相同的直三角尺SBC，SAC斜边重合，沿其斜边SC折叠形成一个120°的二面角，其中2SASB，且3AB，则空间四边形SABC外接球的表面积为（）A．4B．163C．3D．203【答案】B【分析】过点B作BDSC于D，连接DA，证得BDA为二面角BSCA的平面角，进而求出SC的长度，然后取SC的中点O,证得O为空间四边形SABC外接球的球心，从而可知SC为球直径，从而结合球的表面积的公式即可求出结果.【详解】过点B作BDSC于D，连接DA，由于RtSBC△和RtSAC△全等，所以ADSC，ADBD，所以BDA为二面角BSCA的平面角，即120BDA，在ABD△中，结合余弦定理得2222cosABBDADBDADBDA，即221322BDBDBDBD，因此233BD，因为0BD，所以1BD，在RtSBD△中，1sin2BSD，从而6BSD，在RtSBC△中，3cos2SBBSDSC，又因为2SB，所以433SC，取SC的中点O，连接,OBOA，由于SC是RtSBC△和RtSAC△的斜边，所以OBOAOSOC，故O为空间四边形SABC外接球的球心，SC为球直径，所以空间四边形SABC外接球的半径为233，所以空间四边形SABC外接球的表面积为22316433，故选：B.8．已知直三棱柱的各棱长都相等，三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为28π，则该三棱柱的体积为（）A．6B．18C．123D．163【答案】B【分析】根据球的表面积求出外接球的半径，设出三棱柱的棱长，确认球心位置，结合勾股定理列出方程，解之即可求出结果.【详解】设球O的半径为r，则2428r，则7r，设三棱柱111ABCABC的棱长为a，连接111,AACCBB的外心21,OO，则21OO的中点O即为球心，且223,32aOCaOO,则222332aar，则23a．23331844Vaaa．故选：B.9．已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的2BDC，则过A，B，C，D四点的球的表面积为（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】首先对平面图形进行转换，进一步求出外接球的半径，最后带入表面积公式求解.【详解】边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的2BDC，构成以D为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1，1，3，所以21135R，球面积254()52S，故选:D.10．已知正四面体ABCD的表面积为23，且A、B、C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为（）A．23πB．3π4C．3π2D．3π【答案】C【分析】由正四面体的性质特征，可知它的各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a，则根据正四面体ABCD的表面积即可得出2a，从而得出对应的正方体的棱长为1，而正方体的外接球即为该正四面体的外接球，由正方体的外接球性质可得出外接球的半径为32，最后根据球的体积公式即可得出结果.【详解】解：正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a，所以该正四面体的表面积为2221432322aSaaa，所以2a，又正方体的面对角线可构成正四面体，若正四面体棱长为2，可得正方体的棱长为1，所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，所以外接球的直径为3，半径为32，所以球O的体积为3433π322．故选：C.11．在四棱锥PABCD中，底面是边长为4的正方形，且2,25PAPBPD，则四棱锥外接球的表面积为（）A．4B．8C．36D．144【答案】C【分析】利用勾股定理判断PA平面ABCD，过正方形ABCD的中心O作垂线，再过PA中点作此垂线的垂线，交点O即为外接球的球心，求出外接球半径，由表面积公式即可求解.【详解】由题意可知222PAABPB，222PAADPD，所以PAAB，PAAD，又ABADA，所以PA平面ABCD，过正方形ABCD的中心O作垂线，再过PA中点作此垂线的垂线，交点为O，此点即为外接球的球心，则外接球半径R221223OA，所以四棱锥外接球的表面积2436SR.故选：C12．三棱锥D-ABC中，AB=DC=3，AC=DB=2，AC⊥CD，AB⊥DB.则三棱锥D-ABC外接球的表面积是（）.A．9B．13C．36D．52【答案】B【分析】由题可得球心为AD的中点，即求.【详解】取AD的中点为O，连接,OCOB，因为AC⊥CD，AB⊥DB∴OCOAODOB即O为棱锥D-ABC外接球的球心，又AB=DC=3，AC=DB=2，∴222313AD，∴三棱锥D-ABC外接球的表面积为13.故选：B.13．已知一个圆锥的母线长为26，侧面展开图是圆心角为233的扇形，则该圆锥的外接球的体积为（）A．36B．48C．36D．242【答案】A【分析】先利用圆锥的侧面展开图为扇形求出圆锥的底面半径r和圆锥的高h，设该圆锥的外接球的球心为O，半径为R,利用勾股定理求出R，即可求出球的体积.【详解】设圆锥的底面半径为r，由侧面展开图是圆心角为233的扇形得：232632r，解得：22r.作出圆锥的轴截面如图所示：设圆锥的高为h，则2242622h.设该圆锥的外接球的球心为O，半径为R,则有22RhRr，即22422RR，解得：R=3，所以该圆锥的外接球的体积为334433633R.故选：A.14．已知三棱柱111ABCABC的6个顶点全部在球O的表面上，ABAC，120BAC，三棱柱111ABCABC的侧面积为843，则球O表面积的最小值是（）A．4B．16C．163D．323【答案】B【分析】设三棱柱111ABCABC的高为h，ABACa，根据题意得出4ah，设ABC的外接圆半径为r、球O的半径为R，根据勾股定理得出2R的表达式，结合基本不等式即可得出结果.【详解】设三棱柱111ABCABC的高为h，ABACa.因为120BAC，所以BC3a，则该三棱柱的侧面积为23843ah，故4ah.设ABC的外接圆半径为r，则2sinBCraBAC.设球O的半径为R，则2222222164244hhhRrah（当且仅当22h时，等号成立），故球O的表面积为2416R.故选：B15．三