【新高考复习】专题33 参变分离解决导数必刷100题(解析版)

专题33参变分离解决导数必刷100题一、单选题1．已知函数()ln1xfxaex，若()0fx恒成立，则实数a的取值范围（）.A．1[,)eB．[1,)C．[2,)D．[),e【答案】A【分析】依题意可得ln1xxae在0,x上恒成立，构造函数ln1xxgxe，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围.【详解】解：因为()ln1xfxaex，定义域为0,，因为()0fx恒成立，即ln1xxae在0,x上恒成立，令ln1xxgxe，则1ln1xxxgxe，令1ln1hxxx，则2110hxxx恒成立，即1ln1hxxx在定义域上单调递减，又10h，所以当0,1x时0hx，当1,x时0hx，即当0,1x时0gx，当1,x时0gx，即ln1xxgxe在0,1上单调递增，在1,上单调递减，故ln1xxgxe在1x处取得极大值，即最大值，max11gxge，所以1ae，即1,ae.故选：A.2．已知函数ln2fxxxx，若kZ，使得21fxkkx在2,x恒成立，则k的最大值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【分析】首先参变分离得ln2xxxkx，再设函数ln2xxxhxx，求导数242ln2xxhxx，再设42lngxxx，再求导数，通过函数gx恒正，判断函数gx的单调性，并判断hx的极值点所在的区间，求得函数的最小值，同时求得k的最大值.【详解】依题意，ln2xxxkx，令ln2xxxhxx，则242ln2xxhxx．令42lngxxx，21gxx，∴2x时，0gx，即gx单调递增，∵4242ln8ln8nl80ge，52952ln9lnln90ge，设42ln0xx并记其零点为0x，故089x．且004ln2xx，所以当02xx时，0gx，即0hx，hx单调递减；当0xx时，0gx即0hx，hx单调递增，所以0000000min0004ln2222xxxxxxxhxhxxx，因此02xk，由于kZ且089x，即09422x，所以max4k，故选:C3．已知函数22130xfxxeaxax为增函数，则a的取值范围是（）A．2,eB．3,2eC．,2eD．3,2e【答案】A【分析】函数2()(21)3(0)xfxxeaxax为增函数，可得()0fx，化为122xaex，令1()2xgxex，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出.【详解】∵函数2()(21)3(0)xfxxeaxax为增函数，∴()(2x1)e20xfxax，化为122xaex，令1()2xgxex，则2211()xxxegxx，当12x时，()0gx，当102x时，()0gx，可得12x时，函数()gx取得极大值即最大值，142ge，∴2ae.∴a的取值范围是2,e.故选：A.4．已知函数xefxaxx，0,x，当21xx时，不等式1221fxfxxx恒成立，则实数a的取值范围为（）A．,eB．,eC．,2eD．,2e【答案】D【分析】由题意得出1122xfxxfx，构造函数2xgxeax，可知函数ygx在区间0,上单调递增，可得出20xgxeax对任意的0x恒成立，利用参变量分离法可得出2xeax，利用导数求得函数2xehxx在区间0,上的最小值，由此可求得实数a的取值范围.【详解】函数xefxaxx的定义域为0,，当21xx时，1221fxfxxx恒成立，即1122xfxxfx，构造函数2xgxxfxeax，则12gxgx，所以，函数2xgxeax在区间0,上为增函数，则20xgxeax对任意的0x恒成立，2xeax，令2xehxx，其中0x，则minahx.212xexhxx，当01x时，0hx，此时函数yhx单调递减；当1x时，0hx，此时函数yhx单调递增.所以，函数yhx的最小值为min12ehxh，2ea.因此，实数a的取值范围是,2e.故选：D.5．若关于x的方程2lnxaxx在()0,+?上有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为（）A．,1B．,1C．1,D．1,【答案】B【分析】通过分离参数变成lnxaxx，构造函数lnxfxxx，利用导数求其单调区间和值域，数形结合写出a的取值范围.【详解】2lnxaxx故lnxaxx则lnxfxxx2'221ln1ln1xxxfxxx设21lngxxx，0x故'120gxxx21lngxxx在()0,+?上为减函数，()10g=.故0,1x时'0fx；1,x时'0fx.故lnxfxxx在()0,1上为增函数，在()1,+?上为减函数.max11fxf，且0,x时fx；,x时fxya与lnxfxxx的图象要有两个交点则a的取值范围为,1.故选：B6．已知函数()xfxaxe与函数()ln1gxxx的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A．(1,)eB．1,2eC．1,2eD．(,1)e【答案】A【分析】根据题意将函数fx与gx的图像上恰有两对关于x轴对称的点转化为ln1xexxax有两解，令新的函数ln1()xexxhxx，求导，然后判断函数的单调性与极值，则可得a的取值范围.【详解】因为函数fx与gx的图像上恰有两对关于x轴对称的点，所以()fxgx，即ln1xeaxxx有两解，则ln1xexxax有两解，令ln1()xexxhxx，则21()1xxhxex，所以当0,1x时，()0hx；当1,x时，()0hx；所以函数()hx在0,1上单调递减，在1,上单调递增；所以()hx在1x处取得极小值，所以(1)1he，所以1ae，a的取值范围为1,e.故选：A.7．已知函数1,0,,0,xfxxx函数xgxfxme存在零点，则实数m的取值范围（）A．10,1,2B．10,1,eC．0,1,eD．10,,2e【答案】B【分析】函数xgxfxme存在零点，即方程xfxme有解，当0x时，1xme，求得函数1xye的值域，即为实数m的取值范围，当0x时，xxme，求得函数xxye的值域，即为实数m的取值范围，最后取并集即为所求.【详解】解：令0xgxfxme，即xfxme，当0x时，1xme，即1xme，因为0,1xe，所以11,xe，则1,m；当0x时，xxme，即xxme，令xxhxe，则1xxhxe，所以hx在0,1递增，在1,递减，所以11maxhxhe，00h，当0x时，0hx→，且0hx，所以10,hxe，即10,me，综上所述：10,1,me.故选：B.8．已知2()2lnfxxaxx在区间1，上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．,4B．,4C．,5D．,5【答案】D【分析】由题意可知()0fx在1，上恒成立，即2410xax在1，上恒成立，参变分离，构造函数1=4gxxx，求出gx的最小值即可.【详解】因为2()2lnfxxaxx，所以2141()4xaxfxxaxx，因为2()2lnfxxaxx在区间1，上单调递增，所以()0fx在1，上恒成立，即2410xax在1，上恒成立，所以14xax，令1=4gxxx，则214gxx，当1x，时0gx，所以gx在1，上单调递增，又因为114151g，且1gxg，所以5a，故选：D.9．已知函数2lnfxxaxxaR在1,33上有两个零点，则实数a的最大值为（）A．9ln33B．1C．13ln33D．4ln22【答案】A【分析】由()0fx得lnxaxx，1,33x，令ln()xgxxx，作出其在1,33上的简图，数形结合可得结果.【详解】由()0fx得2ln0xaxx，即lnxaxx，1,33x.令ln()xgxxx，1,33x，则2221ln1ln()1xxxgxxx，令2()1lnhxxx，1,33x，则1()20hxxx，所以()hx在1,33上单调递增，又(1)0h，则当1,13x时，()0hx，即()0gx；当1,3x时，()0hx，即()0gx；所以min()(1)1gxg，又11113ln3ln33333g，1(3)3ln33g，且113ln33ln333，作出()ygx，1,33x的简图，由图可知，要使()ygx的图象与ya的图象有两个不同的交点，则113ln33a，所以，当函数()fx在1,33上有两个零点时，实数a的最大值为9ln33.故选：A.10．已知a为常数，若曲线y＝ax2＋3x−lnx存在与直线x＋y−1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是（）A．1,2B．1-+2，C．[−1，＋∞)D．(−∞，−1]【答案】A【分析】根据题意，曲线23yaxxlnx存在与直线10xy垂直的切线，转化为()1fx有正根，分离参数，求最值，即可得到结论．【详解】解：令2()3lnyfxaxxx，由题意，10xy斜率是1，则与直线10xy垂直的切线的斜率是1，()1fx有解函数的定义域为{|0}xx，()1fx有正根，2()3lnfxaxxx，1()231fxaxx有正根22210axx有正根221212(1)1axxx21a…，12a…．故选：A．11．已知函数()xfxaxxe，若存在01x，使得00fx，则实数a的取值范