【新高考复习】第2讲　第1课时　利用导数研究函数的单调性

第2讲导数的应用一、选择题1.函数f(x)＝xlnx，则()A.在(0，＋∞)上递增B.在(0，＋∞)上递减C.在0，1e上递增D.在0，1e上递减解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)0得x1e，令f′(x)0得0x1e，故选D.答案D2.下面为函数y＝xsinx＋cosx的递增区间的是()A.π2，3π2B.(π，2π)C.3π2，5π2D.(2π，3π)解析y′＝(xsinx＋cosx)′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，当x∈3π2，5π2时，恒有xcosx0.答案C3.已知函数f(x)＝12x3＋ax＋4，则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析f′(x)＝32x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.答案A4.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()解析由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)在[－1，1]上为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢.答案B5.设函数f(x)＝12x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是()A.(1，2]B.(4，＋∞]C.[－∞，2)D.(0，3]解析∵f(x)＝12x2－9lnx，∴f′(x)＝x－9x(x0)，当x－9x≤0时，有0x≤3，即在(0，3]上原函数是减函数，则[a－1，a＋1]⊆(0，3]，∴a－10且a＋1≤3，解得1a≤2.答案A二、填空题6.函数f(x)＝exx的单调递增区间为________.解析函数的定义域为{x|x≠0}，且f′(x)＝ex（x－1）x2，令f′(x)0得x1.答案(1，＋∞)7.已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1，1]上是单调减函数，则实数a的取值范围是________.解析f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由题意当x∈[－1，1]时，f′(x)≤0恒成立，即x2＋(2－2a)x－2a≤0在x∈[－1，1]时恒成立.令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a，则有g（－1）≤0，g（1）≤0，即（－1）2＋（2－2a）·（－1）－2a≤0，12＋2－2a－2a≤0，解得a≥34.答案34，＋∞8.(2017·合肥模拟)若函数f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax在23，＋∞上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________.解析对f(x)求导，得f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－x－122＋14＋2a.当x∈23，＋∞时，f′(x)的最大值为f′23＝29＋2a.令29＋2a0，解得a－19.所以实数a的取值范围是－19，＋∞.答案－19，＋∞三、解答题9.(2016·北京卷)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间.解(1)∵f(x)＝xea－x＋bx，∴f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.由题意得f（2）＝2e＋2，f′（2）＝e－1，即2ea－2＋2b＝2e＋2，－ea－2＋b＝e－1，解得a＝2，b＝e.(2)由(1)得f(x)＝xe2－x＋ex，由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号.令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.当x∈(－∞，1)时，g′(x)0，g(x)在(－∞，1)上递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)0，g(x)在(1，＋∞)上递增，∴g(x)≥g(1)＝1在R上恒成立，∴f′(x)0在R上恒成立.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).10.设函数f(x)＝13x3－a2x2＋1.(1)若a0，求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围.解(1)由已知得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a0)，当x∈(－∞，0)时，f′(x)0；当x∈(0，a)时，f′(x)0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a).(2)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋20成立，即x∈(－2，－1)时，ax＋2xmax＝－22，当且仅当x＝2x即x＝－2时等号成立.所以满足要求的实数a的取值范围是(－∞，－22).11.(2017·承德调考)已知f(x)是可导的函数，且f′(x)f(x)对于x∈R恒成立，则()A.f(1)ef(0)，f(2017)e2017f(0)B.f(1)ef(0)，f(2017)e2017f(0)C.f(1)ef(0)，f(2017)e2017f(0)D.f(1)ef(0)，f(2017)e2017f(0)解析令g(x)＝f（x）ex，则g′(x)＝f（x）ex′＝f′（x）ex－f（x）（ex）′e2x＝f′（x）－f（x）ex0，所以函数g(x)＝f（x）ex在R上是单调减函数，所以g(1)g(0)，g(2017)g(0)，即f（1）e1f（0）1，f（2017）e2017f（0）1，故f(1)ef(0)，f(2017)e2017f(0).答案D12.(2016·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝x－13sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()A.[－1，1]B.－1，13C.－13，13D.－1，－13解析∵f(x)＝x－13sin2x＋asinx，∴f′(x)＝1－23cos2x＋acosx＝－43cos2x＋acosx＋53.由f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立.令t＝cosx，t∈[－1，1]，则－43t2＋at＋53≥0，在t∈[－1，1]上恒成立.∴4t2－3at－5≤0在t∈[－1，1]上恒成立.令g(t)＝4t2－3at－5，则g（1）＝－3a－1≤0，g（－1）＝3a－1≤0.解之得－13≤a≤13.答案C13.已知函数f(x)＝－12x2＋4x－3lnx在区间[t，t＋1]上不单调，则实数t的取值范围是________.解析由题意知f′(x)＝－x＋4－3x＝－（x－1）（x－3）x，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t1t＋1或t3t＋1，得0t1或2t3.答案(0，1)∪(2，3)14.已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2·f′（x）＋m2在区间(t，3)上总不是单调函数，求实数m的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝a（1－x）x，当a0时，f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞)；当a0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0，1)；当a＝0时，f(x)不是单调函数.(2)由(1)及题意得f′(2)＝－a2＝1，即a＝－2，∴f(x)＝－2lnx＋2x－3，f′(x)＝2x－2x.∴g(x)＝x3＋m2＋2x2－2x，∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.∵g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数，即g′(x)＝0在区间(t，3)上有变号零点.由于g′(0)＝－2，∴g′（t）0，g′（3）0.当g′(t)0，即3t2＋(m＋4)t－20对任意t∈[1，2]恒成立，由于g′(0)0，故只要g′(1)0且g′(2)0，即m－5且m－9，即m－9；由g′(3)0，即m－373，所以－373m－9，即实数m的取值范围是－373，－9.