【新高考复习】第2讲　两直线的位置关系

第2讲两直线的位置关系一、选择题1.直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定解析直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－12，则k1≠k2，且k1k2≠－1.故选C.答案C2.(2017·刑台模拟)“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析依题意得，直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行的充要条件是a（a－2）＝3×1，a×1≠3×1，解得a＝－1，因此选C.答案C3.过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为()A.19x－9y＝0B.9x＋19y＝0C.19x－3y＝0D.3x＋19y＝0解析法一由x－3y＋4＝0，2x＋y＋5＝0，得x＝－197，y＝37，则所求直线方程为：y＝37－197x＝－319x，即3x＋19y＝0.法二设直线方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，即(1＋2λ)x－(3－λ)y＋4＋5λ＝0，又直线过点(0，0)，所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，解得λ＝－45，故所求直线方程为3x＋19y＝0.答案D4.直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()A.x＋2y－1＝0B.2x＋y－1＝0C.x＋2y＋3＝0D.x＋2y－3＝0解析设所求直线上任一点(x，y)，则它关于直线x＝1的对称点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，即2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.答案D5.(2017·安庆模拟)若直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为10，则m＝()A.7B.172C.14D.17解析直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为10，所以|2m＋3|4＋36＝10，求得m＝172，故选B.答案B6.(2017·石家庄模拟)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos2017π2－2α的值为()A.45B.－45C.2D.－12解析依题设，直线l的斜率k＝2，∴tanα＝2，且α∈[0，π)，则sinα＝255，cosα＝55，则cos20172π－2α＝cosπ2－2α＝sin2α＝2sinαcosα＝45.答案A7.(2017·成都调研)已知直线l1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2，0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为()A.(3，3)B.(2，3)C.(1，3)D.1，32解析直线l1的斜率为k1＝tan30°＝33，因为直线l2与直线l1垂直，所以k2＝－1k1＝－3，所以直线l1的方程为y＝33(x＋2)，直线l2的方程为y＝－3(x－2).两式联立，解得x＝1，y＝3，即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，3).故选C.答案C8.从点(2，3)射出的光线沿与向量a＝(8，4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为()A.x＋2y－4＝0B.2x＋y－1＝0C.x＋6y－16＝0D.6x＋y－8＝0解析由直线与向量a＝(8，4)平行知：过点(2，3)的直线的斜率k＝12，所以直线的方程为y－3＝12(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y轴的对称点为(－2，3)，所以反射光线过点(－2，3)与(0，2)，由两点式知A正确.答案A二、填空题9.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________.解析由y＝2x，x＋y＝3，得x＝1，y＝2.∴点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.答案－910.(2017·沈阳检测)已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________.解析显然直线l的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知，得|－2k－2＋4－3k|1＋k2＝|4k＋2＋4－3k|1＋k2，∴k＝2或k＝－23.∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.答案2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝011.(2017·深圳模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1，1)且与y轴交于点P，则P点坐标为________.解析因为l1∥l2，且l1的斜率为2，则直线l2的斜率k＝2，又直线l2过点(－1，1)，所以直线l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理得y＝2x＋3，令x＝0，得y＝3，所以P点坐标为(0，3).答案(0，3)12.(2017·长沙一调)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.解析设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以b－4a－（－3）·1＝－1，－3＋a2－b＋42＋3＝0，解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为y－06－0＝x－12－1，即6x－y－6＝0.答案6x－y－6＝013.(2017·洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2的值为()A.102B.10C.5D.10解析由题意知P(0，1)，Q(－3，0)，∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，∴M位于以PQ为直径的圆上，∵|PQ|＝9＋1＝10，∴|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝10，故选D.答案D14.若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2经过定点()A.(0，4)B.(0，2)C.(－2，4)D.(4，－2)解析直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2经过定点(0，2).答案B15.设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________.解析易知A(0，0)，B(1，3)且两直线互相垂直，即△APB为直角三角形，∴|PA|·|PB|≤|PA|2＋|PB|22＝|AB|22＝102＝5.当且仅当|PA|＝|PB|时，等号成立.答案516.在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________.解析设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为所求.∵kAC＝6－23－1＝2，∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.①又∵kBD＝5－（－1）1－7＝－1，∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0.②由①②得2x－y＝0，x＋y－6＝0，解得x＝2，y＝4，所以M(2，4).答案(2，4)