【新高考复习】2 第2讲　一元二次不等式的解法　新题培优练

[基础题组练]1．不等式(x－2)(2x－3)0的解集是()A.－∞，32∪(2，＋∞)B．RC.32，2D．∅解析：选C.因为不等式(x－2)(2x－3)0，解得32x2，所以不等式的解集是32，2.2．不等式1－x2＋x≥1的解集为()A.－2，－12B.－2，－12C．(－∞，－2)∪－12，＋∞D．(－∞，－2]∪－12，＋∞解析：选B.1－x2＋x≥1⇔1－x2＋x－1≥0⇔1－x－2－x2＋x≥0⇔－2x－12＋x≥0⇔2x＋1x＋2≤0⇔（2x＋1）（x＋2）≤0x＋2≠0⇔－2x≤－12.故选B.3．已知不等式ax2－5x＋b0的解集为{x|－3x2}，则不等式bx2－5x＋a0的解集是()A.x－13x12B.x－12x13C.xx－13或x12D.xx－12或x13解析：选C.由题意得方程ax2－5x＋b＝0的两根分别为－3，2，于是－3＋2＝－－5a，－3×2＝ba，⇒a＝－5，b＝30.则不等式bx2－5x＋a0，即为30x2－5x－50，即(3x＋1)(2x－1)0，⇒x－13或x12.故选C.4．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是()A．[－4，1]B．[－4，3]C．[1，3]D．[－1，3]解析：选B.原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1a≤3.综上可得－4≤a≤3.5．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是()A．13B．18C．21D．26解析：选C.设f(x)＝x2－6x＋a，其图象为开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示．若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则f（2）≤0，f（1）0，即22－6×2＋a≤0，12－6×1＋a0，解得5a≤8，又a∈Z，故a＝6，7，8.则所有符合条件的a的值之和是6＋7＋8＝21.6．不等式|x(x－2)|x(x－2)的解集是________．解析：不等式|x(x－2)|x(x－2)的解集即x(x－2)0的解集，解得0x2.答案：{x|0x2}7．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝ab＋a＋b(a，b为非负实数)，若1⊙k23，则k的取值范围是________．解析：因为定义a⊙b＝ab＋a＋b(a，b为非负实数)，1⊙k23，所以k2＋1＋k23，化为(|k|＋2)(|k|－1)0，所以|k|1，所以－1k1.答案：(－1，1)8．若不等式x2＋ax－20在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是________．解析：由Δ＝a2＋80，知方程x2＋ax－2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f(5)0，解得a－235，故a的取值范围为－235，＋∞.答案：－235，＋∞9．求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a0，|a|≤1恒成立的x的取值范围．解：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋90.令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9，因为f(a)0在|a|≤1时恒成立，所以(1)若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x≠3，则由一次函数的单调性，可得f（－1）0，f（1）0，即x2－7x＋120，x2－5x＋60，解得x2或x4.则实数x的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．10．已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)0，当x∈(－3，2)时，f(x)0.(1)求f(x)在[0，1]内的值域；(2)若ax2＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围．解：(1)因为当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)0，当x∈(－3，2)时，f(x)0.所以－3，2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，所以－3＋2＝8－ba，－3×2＝－a－aba，所以a＝－3，b＝5.所以f(x)＝－3x2－3x＋18＝－3x＋122＋754.因为函数图象关于x＝－12对称且抛物线开口向下，所以f(x)在[0，1]上为减函数，所以f(x)max＝f(0)＝18，f(x)min＝f(1)＝12，故f(x)在[0，1]内的值域为[12，18]．(2)由(1)知不等式ax2＋bx＋c≤0可化为－3x2＋5x＋c≤0，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ＝b2－4ac≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－2512，所以实数c的取值范围为－∞，－2512.[综合题组练]1．(应用型)若关于x的不等式x2－2ax－8a20(a0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于()A.52B.72C.154D.152解析：选A.由x2－2ax－8a20，得(x＋2a)(x－4a)0，因为a0，所以不等式的解集为(－2a，4a)，即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，得4a－(－2a)＝15，解得a＝52.2．(应用型)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是()A．(－1，0)B．(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．不能确定解析：选C.由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即a2＝1，解得a＝2.又因为f(x)开口向下，所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，解得b＜－1或b＞2.3．在R上定义运算：abcd＝ad－bc，若不等式x－1a－2a＋1x≥1对x∈R恒成立，则实数a的最大值为________．解析：原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，即x2－x－1≥(a－2)(a＋1)对x∈R恒成立，因为x2－x－1＝x－122－54≥－54，所以(a－2)(a＋1)≤－54，解得－12≤a≤32，所以amax＝32.答案：324．对于实数x，当且仅当n≤xn＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋450的解集为________．解析：由4[x]2－36[x]＋450，得32[x]152，又当且仅当n≤xn＋1(n∈N*)时，[x]＝n，所以[x]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为[2，8)．答案：[2，8)5．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(mn)．(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)0的解集；(2)若a0，且0xmn1a，比较f(x)与m的大小．解：(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)·(x－n)，当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)0，即a(x＋1)(x－2)0.当a0时，不等式F(x)0的解集为{x|x－1或x2}；当a0时，不等式F(x)0的解集为{x|－1x2}．(2)f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，因为a0，且0xmn1a，所以x－m0，1－an＋ax0.所以f(x)－m0，即f(x)m.