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第4讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用一、选择题1.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为()A.x=kπ2-π6(k∈Z)B.x=kπ2+π6(k∈Z)C.x=kπ2-π12(k∈Z)D.x=kπ2+π12(k∈Z)解析由题意将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y=2sin2x+π6,由2x+π6=kπ+π2得函数的对称轴为x=kπ2+π6(k∈Z),故选B.答案B2.(2017·衡水中学金卷)若函数y=sin(ωx-φ)(ω0,|φ|π2)在区间-π2,π上的图象如图所示,则ω,φ的值分别是()A.ω=2,φ=π3B.ω=2,φ=-2π3C.ω=12,φ=π3D.ω=12,φ=-2π3解析由图可知,T=2π6--π3=π,所以ω=2πT=2,又sin2×π6-φ=0,所以π3-φ=kπ(k∈Z),即φ=π3-kπ(k∈Z),而|φ|π2,所以φ=π3,故选A.答案A3.(2017·昆明市两区七校模拟)将函数f(x)=3sinx-cosx的图象沿着x轴向右平移a(a0)个单位后的图象关于y轴对称,则a的最小值是()A.π6B.π3C.π2D.2π3解析依题意得f(x)=2sinx-π6,因为函数f(x-a)=2sinx-a-π6的图象关于y轴对称,所以sin-a-π6=±1,a+π6=kπ+π2,k∈Z,即a=kπ+π3,k∈Z,因此正数a的最小值是π3,选B.答案B4.(2016·长沙模拟)函数f(x)=3sinπ2x-log12x的零点的个数是()A.2B.3C.4D.5解析函数y=3sinπ2x的周期T=2ππ2=4,由log12x=3,可得x=18.由log12x=-3,可得x=8.在同一平面直角坐标系中,作出函数y=3sinπ2x和y=log12x的图象(如图所示),易知有5个交点,故函数f(x)有5个零点.答案D5.(2017·呼和浩特调研)如图是函数f(x)=sin2x和函数g(x)的部分图象,则g(x)的图象可能是由f(x)的图象()A.向右平移2π3个单位得到的B.向右平移π3个单位得到的C.向右平移7π12个单位得到的D.向右平移π6个单位得到的解析由函数f(x)=sin2x和函数g(x)的部分图象,可得g(x)的图象位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标为m,则有17π24-m=π4-π8,解得m=7π12,故把函数f(x)=sin2x的图象向右平移7π12-π4=π3个单位,即可得到函数g(x)的图象,故选B.答案B二、填空题6.(2016·龙岩模拟)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acosπ6(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28℃,12月份的月平均气温最低为18℃,则10月份的平均气温为________℃.解析因为当x=6时,y=a+A=28;当x=12时,y=a-A=18,所以a=23,A=5,所以y=f(x)=23+5cosπ6(x-6),所以当x=10时,f(10)=23+5cosπ6×4=23-5×12=20.5.答案20.57.(2016·全国Ⅲ卷)函数y=sinx-3cosx的图象可由函数y=sinx+3cosx的图象至少向右平移________个单位长度得到.解析y=sinx-3cosx=2sinx-π3,y=sinx+3cosx=2sinx+π3,因此至少向右平移2π3个单位长度得到.答案2π38.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22,且过点2,-12,则函数f(x)的解析式为________.解析据已知两个相邻最高和最低点距离为22,可得T22+(1+1)2=22,解得T=4,故ω=2πT=π2,即f(x)=sinπx2+φ.又函数图象过点2,-12,故f(2)=sinπ2×2+φ=-sinφ=-12,又-π2≤φ≤π2,解得φ=π6,故f(x)=sinπx2+π6.答案f(x)=sinπx2+π6三、解答题9.已知函数f(x)=sinωx+cosωx+π6,其中x∈R,ω>0.(1)当ω=1时,求fπ3的值;(2)当f(x)的最小正周期为π时,求f(x)在0,π4上取得最大值时x的值.解(1)当ω=1时,fπ3=sinπ3+cosπ2=32+0=32.(2)f(x)=sinωx+cosωx+π6=sinωx+32cosωx-12sinωx=12sinωx+32cosωx=sinωx+π3.∵2π|ω|=π,且ω>0,得ω=2,∴f(x)=sin2x+π3.由x∈0,π4,得2x+π3∈π3,5π6,∴当2x+π3=π2,即x=π12时,f(x)max=1.10.已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)ω>0,-π2≤φ<π2的图象关于直线x=π3对称,且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求fπ4的值;(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π12个单位后,得到y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.解(1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω=2πT=2.又f(x)的图象关于直线x=π3对称,所以2×π3+φ=kπ+π2(k∈Z),因为-π2≤φ<π2,所以k=0,所以φ=π2-2π3=-π6,所以f(x)=3sin2x-π6,则fπ4=3sin2×π4-π6=3sinπ3=32.(2)将f(x)的图象向右平移π12个单位后,得到fx-π12的图象,所以g(x)=fx-π12=3sin2x-π12-π6=3sin2x-π3.当2kπ+π2≤2x-π3≤2kπ+3π2(k∈Z),即kπ+5π12≤x≤kπ+11π12(k∈Z)时,g(x)单调递减.因此g(x)的单调递减区间为kπ+5π12,kπ+11π12(k∈Z).11.(2017·西安调研)设函数f(x)=sin2x+π6,则下列结论正确的是()A.f(x)的图象关于直线x=π3对称B.f(x)的图象关于点π6,0对称C.f(x)的最小正周期为π,且在0,π12上为增函数D.把f(x)的图象向右平移π12个单位,得到一个偶函数的图象解析对于函数f(x)=sin2x+π6,当x=π3时,fπ3=sin5π6=12,故A错;当x=π6时,fπ6=sinπ2=1,故π6,0不是函数的对称点,故B错;函数的最小正周期为T=2π2=π,当x∈0,π12时,2x+π6∈π6,π3,此时函数为增函数,故C正确;把f(x)的图象向右平移π12个单位,得到g(x)=sin2x-π12+π6=sin2x,函数是奇函数,故D错.答案C12.(2017·承德一模)已知函数f(x)=2sinωx在区间-π3,π4上的最小值为-2,则ω的取值范围是()A.-∞,-92∪[6,+∞)B.-∞,-92∪32,+∞C.(-∞,-2]∪[6,+∞)D.(-∞,-2]∪32,+∞解析当ω0时,-π3ω≤ωx≤π4ω,由题意知-π3ω≤-π2,即ω≥32;当ω0时,π4ω≤ωx≤-π3ω,由题意知π4ω≤-π2,∴ω≤-2.综上可知,ω的取值范围是(-∞,-2]∪32,+∞.答案D13.已知函数f(x)=3sinωx+cosωx(ω0),x∈R.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为π3,则f(x)的最小正周期为________.解析f(x)=3sinωx+cosωx=2sinωx+π6.由2sinωx+π6=1得sinωx+π6=12,∴ωx+π6=2kπ+π6或ωx+π6=2kπ+56π(k∈Z).令k=0,得ωx1+π6=π6,ωx2+π6=56π,∴x1=0,x2=2π3ω.由|x1-x2|=π3,得2π3ω=π3,∴ω=2.故f(x)的最小正周期T=2π2=π.答案π14.(2017·郑州模拟)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω0,|φ|π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:ωx+φ0π2π3π22πxπ35π6Asin(ωx+φ)05-50(1)请将上表数据补充完整,并求出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)的图象向左平移π6个单位,得到函数y=g(x)的图象.若关于x的方程g(x)-(2m+1)=0在区间0,π2上有两个不同的解,求实数m的取值范围.解(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-π6.数据补全如下表:ωx+φ0π2π3π22πxπ12π37π125π613π12Asin(ωx+φ)050-50且函数表达式为f(x)=5sin2x-π6.(2)通过平移,g(x)=5sin2x+π6,方程g(x)-(2m+1)=0可看成函数y=g(x)和函数y=2m+1的图象在0,π2上有两个交点,当x∈0,π2时,2x+π6∈π6,7π6,为使直线y=2m+1与函数y=g(x)的图象在0,π2上有两个交点,结合函数y=g(x)在[0,π2]上的图象,只需52≤2m+15,解得34≤m2.即实数m的取值范围为34,2.
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