【新高考复习】第8讲　曲线与方程

第8讲曲线与方程一、选择题1.方程(2x＋3y－1)(x－3－1)＝0表示的曲线是()A.两条直线B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线解析原方程可化为2x＋3y－1＝0，x－3≥0或x－3－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线.答案D2.(2017·衡水模拟)若方程x2＋y2a＝1(a是常数)，则下列结论正确的是()A.任意实数a方程表示椭圆B.存在实数a方程表示椭圆C.任意实数a方程表示双曲线D.存在实数a方程表示抛物线解析当a0且a≠1时，方程表示椭圆，故选B.答案B3.(2017·长春模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.4x221－4y225＝1B.4x221＋4y225＝1C.4x225－4y221＝1D.4x225＋4y221＝1解析∵M为AQ的垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C，A为焦点的椭圆.∴a＝52，∴c＝1，则b2＝a2－c2＝214，∴M的轨迹方程为4x225＋4y221＝1.答案D4.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是()A.y2＝2xB.(x－1)2＋y2＝4C.y2＝－2xD.(x－1)2＋y2＝2解析如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)，连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，又∵|PA|＝1，∴|PM|＝|MA|2＋|PA|2＝2，即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.答案D5.平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC→＝λ1OA→＋λ2OB→(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线解析设C(x，y)，因为OC→＝λ1OA→＋λ2OB→，所以(x，y)＝λ1(3，1)＋λ2(－1，3)，即x＝3λ1－λ2，y＝λ1＋3λ2，解得λ1＝y＋3x10，λ2＝3y－x10，又λ1＋λ2＝1，所以y＋3x10＋3y－x10＝1，即x＋2y＝5，所以点C的轨迹为直线，故选A.答案A二、填空题6.已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为__________.解析设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得（x＋2）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0.∴P的轨迹为以(2，0)为圆心，半径为2的圆.即轨迹所包围的面积等于4π.答案4π7.已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若RA→＝AP→，则点P的轨迹方程为________.解析设P(x，y)，R(x1，y1)，由RA→＝AP→知，点A是线段RP的中点，∴x＋x12＝1，y＋y12＝0，即x1＝2－x，y1＝－y.∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.答案y＝2x8.在△ABC中，|BC→|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD→|－|CD→|＝22，则顶点A的轨迹方程为________.解析以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点.则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.∴|AB|－|AC|＝22＜|BC|＝4，∴点A的轨迹为以B，C的焦点的双曲线的右支(y≠0)且a＝2，c＝2，∴b＝2，∴轨迹方程为x22－y22＝1(x＞2).答案x22－y22＝1(x＞2)三、解答题9.如图所示，动圆C1：x2＋y2＝t2，1t3，与椭圆C2：x29＋y2＝1相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左、右顶点.求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.解由椭圆C2：x29＋y2＝1，知A1(－3，0)，A2(3，0)，由曲线的对称性及A(x0，y0)，得B(x0，－y0)，设点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y＝y0x0＋3(x＋3).①直线A2B的方程为y＝－y0x0－3(x－3).②由①②得y2＝－y20x20－9(x2－9).③又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y20＝1－x209.④将④代入③得x29－y2＝1(x－3，y0).因此点M的轨迹方程为x29－y2＝1(x－3，y0).10.(2017·广州模拟)已知点C(1，0)，点A，B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足AC→·BC→＝0，设P为弦AB的中点.(1)求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由.解(1)连接CP，OP，由AC→·BC→＝0，知AC⊥BC，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝12|AB|，由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9，设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，化简，得x2－x＋y2＝4.(2)存在.根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1，0)的距离的点都在抛物线y2＝2px(p＞0)上，其中p2＝1.∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，由方程组y2＝4x，x2－x＋y2＝4得x2＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4，由x≥0，故取x＝1，此时y＝±2.故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1，2).11.已知△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是()A.x29－y216＝1B.x216－y29＝1C.x29－y216＝1(x3)D.x216－y29＝1(x4)解析如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝610＝|AB|，根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支(y≠0)，方程为x29－y216＝1(x3).答案C12.已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN→|·|MP→|＋MN→·NP→＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为()A.y2＝8xB.y2＝－8xC.y2＝4xD.y2＝－4x解析MN→＝(4，0)，MP→＝(x＋2，y)，NP→＝(x－2，y).∴|MN→|＝4，|MP→|＝（x＋2）2＋y2，MN→·NP→＝4(x－2).根据已知条件得4（x＋2）2＋y2＝4(2－x).整理得y2＝－8x.∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.答案B13.如图，P是椭圆x2a2＋y2b2＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且OQ→＝PF1→＋PF2→，则动点Q的轨迹方程是________.解析由于OQ→＝PF1→＋PF2→，又PF1→＋PF2→＝PM→＝2PO→＝－2OP→，设Q(x，y)，则OP→＝－12OQ→＝－x2，－y2，即P点坐标为－x2，－y2，又P在椭圆上，则有－x22a2＋－y22b2＝1，即x24a2＋y24b2＝1.答案x24a2＋y24b2＝114.(2016·全国Ⅲ卷)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.解由题设F12，0，设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且Aa22，a，Bb22，b，P－12，a，Q－12，b，R－12，a＋b2.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.(1)证明由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝a－b1＋a2＝a－ba2－ab＝1a＝－aba＝－b＝k2.所以AR∥FQ.(2)设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1，0)，则S△ABF＝12|b－a||FD|＝12|b－a|x1－12，S△PQF＝|a－b|2.由题设可得|b－a|x1－12＝|a－b|2，所以x1＝1，x1＝0(舍去).设满足条件的AB的中点为E(x，y).当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得2a＋b＝yx－1(x≠1).而a＋b2＝y，所以y2＝x－1(x≠1).当AB与x轴垂直时，E与D重合.所以，所求轨迹方程为y2＝x－1.