【新高考复习】第2讲　函数的单调性与最值

第2讲函数的单调性与最值一、选择题1.若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为()A.－2B.2C.－6D.6解析由图象易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[－a2，＋∞)，令－a2＝3，∴a＝－6.答案C2.(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是()A.y＝11－xB.y＝cosxC.y＝ln(x＋1)D.y＝2－x解析∵y＝11－x与y＝ln(x＋1)在(－1，1)上为增函数，且y＝cosx在(－1，1)上不具备单调性.∴A，B，C不满足题意.只有y＝2－x＝12x在(－1，1)上是减函数.答案D3.定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a2；当ab时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，在区间[－2，2]上的最大值等于()A.－1B.1C.6D.12解析由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1x≤2时，f(x)＝x3－2.∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数.∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.答案C4.已知函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A.cbaB.bacC.bcaD.abc解析∵函数图象关于x＝1对称，∴a＝f－12＝f52，又y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(2)f52f(3)，即bac.答案B5.f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是()A.(8，＋∞)B.(8，9]C.[8，9]D.(0，8)解析2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有x0，x－80，x（x－8）≤9，解得8x≤9.答案B二、填空题6.(2017·郑州模拟)设函数f(x)＝1，x0，0，x＝0，－1，x0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________.解析由题意知g(x)＝x2（x1），0（x＝1），－x2（x1），函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g(x)的减区间是[0，1).答案[0，1)7.(2017·石家庄调研)函数f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________.解析由于y＝13x在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.答案38.(2017·潍坊模拟)设函数f(x)＝－x2＋4x，x≤4，log2x，x4.若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.解析作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.答案(－∞，1]∪[4，＋∞)三、解答题9.已知函数f(x)＝1a－1x(a0，x0).(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)在12，2上的值域是12，2，求a的值.(1)证明设x2x10，则x2－x10，x1x20，∵f(x2)－f(x1)＝1a－1x2－1a－1x1＝1x1－1x2＝x2－x1x1x20，∴f(x2)f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数.(2)解∵f(x)在12，2上的值域是12，2，又由(1)得f(x)在12，2上是单调增函数，∴f12＝12，f(2)＝2，易知a＝25.10.已知函数f(x)＝2x－ax的定义域为(0，1](a为实数).(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；(2)求函数y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值.解(1)当a＝1时，f(x)＝2x－1x，任取1≥x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－1x1－1x2＝(x1－x2)2＋1x1x2.∵1≥x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0.∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1].(2)当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；当a＜0时，f(x)＝2x＋－ax，当－a2≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a；当－a2＜1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在0，－a2上单调递减，在－a2，1上单调递增，无最大值，当x＝－a2时取得最小值2－2a.11.(2017·郑州质检)若函数f(x)＝ax(a0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝()A.4B.2C.12D.14解析当a1，则y＝ax为增函数，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝12，此时g(x)＝－x在[0，＋∞)上为减函数，不合题意.当0a1，则y＝ax为减函数，有a－1＝4，a2＝m，此时a＝14，m＝116.此时g(x)＝34x在[0，＋∞)上是增函数.故a＝14.答案D12.(2017·枣阳第一中学模拟)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为()A.[0，3]B.(1，3)C.[2－2，2＋2]D.(2－2，2＋2)解析由题可知f(x)＝ex－1－1，g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，若f(a)＝g(b)，则g(b)∈(－1，1]，所以－b2＋4b－3－1，即b2－4b＋20，解得2－2b2＋2.所以实数b的取值范围为(2－2，2＋2).答案D13.对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝a，a≤b，b，ab.设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________.解析依题意，h(x)＝log2x，0x≤2，－x＋3，x2.当0x≤2时，h(x)＝log2x是增函数，当x2时，h(x)＝3－x是减函数，∴h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.答案114.已知函数f(x)＝lg(x＋ax－2)，其中a是大于0的常数.(1)求函数f(x)的定义域；(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)0，试确定a的取值范围.解(1)由x＋ax－2＞0，得x2－2x＋ax＞0，当a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，当a＝1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1－1－a或x＞1＋1－a}.(2)设g(x)＝x＋ax－2，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，∴g′(x)＝1－ax2＝x2－ax20.因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数.则f(x)min＝f(2)＝lna2.(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)0.即x＋ax－21对x∈[2，＋∞)恒成立.∴a3x－x2.令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞).由于h(x)＝－x－322＋94在[2，＋∞)上是减函数，∴h(x)max＝h(2)＝2.故a2时，恒有f(x)0.因此实数a的取值范围为(2，＋∞).