【新高考复习】专题04 三角函数-备战2019年高考数学（文）之纠错笔记系列（解析版）

专题04三角函数易错点1不能正确理解三角函数的定义角α的终边落在直线y＝2x上，则sinα的值为A．－55B．55C．255D．±255【错解】选C.在角的终边上取点P(1,2)，∴r＝|OP|＝12＋22＝5，∴sinα＝yr＝25＝255，故选C．【错因分析】当角的终边在一条直线上时，应注意到角的终边为两条射线，所以应分两种情况处理，而错解中没有对两种情况进行讨论导致错误．【参考答案】D1．定义设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，点,Pxy是角的终边上任意一点，P到原点的距离0OPrr，那么角的正弦、余弦、正切分别是sin,cos,tanyxyrrx．注意：正切函数tanyx的定义域是ππ,2kkZ，正弦函数和余弦函数的定义域都是R.2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．1．在平面直角坐标系中，点是角终边上的一点，则等于A．B．C．D．【答案】A【解析】点是角终边上的一点，，从而，故选A.学！科网【名师点睛】本题考查主要考查三角函数的定义以及二倍角的正切公式的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.易错点2利用同角三角函数基本关系式时忽略参数取值已知cosθ＝t，求sinθ、tanθ的值．【错解】①当0t1时，θ为第一或第四象限角.θ为第一象限角时，sinθ＝1－cos2θ＝1－t2，tanθ＝sinθcosθ＝1－t2t；θ为第四象限角时，sinθ＝－1－cos2θ＝－1－t2，tanθ＝sinθcosθ＝－1－t2t.②当－1t0时，θ为第二或第三象限角.θ为第二象限角时，sinθ＝1－cos2θ＝1－t2，tanθ＝sinθcosθ＝1－t2t；θ为第三象限角时，sinθ＝－1－cos2θ＝－1－t2，tanθ＝sinθcosθ＝－1－t2t.综上，221,sin1,tt为第一、二象限角为第三、四象限角，221,tan1,tttt为第一、二象限角为第三、四象限角.【错因分析】上述解法注意到了θ的余弦值含有参数t，根据余弦函数的取值范围对t进行分类讨论，但上述讨论不全面，漏掉了很多情况，如t＝－1，t＝0，t＝1.④当0t1时，θ为第一或第四象限角.若θ为第一象限角，则sinθ＝1－t2，tanθ＝1－t2t；若θ为第四象限角，则sinθ＝－1－t2，tanθ＝－1－t2t.⑤当t＝1时，sinθ＝0，tanθ＝0.综上得：【参考答案】见试题解析.1．①利用22sin+cos1可以实现角的正弦、余弦的互化；②利用sincostan可以实现角的弦切互化．2．同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：2222sin1cos,cos1sin；（2）商的关系的变形：sinsintancos,costan；（3）2222111tan1,1cossintan．3．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．2．已知，则的值为A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知，两边平方得可得即即故选C.本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切弦互化这一转化思想的应用.k值的符号容易出错，tan100表达式符号易错.易错点3不能准确运用诱导公式进行化简求值若sinθ＝33，求cos(π)cos(2π)3ππ3πcos[sin()1]cos(π)sin()sin()222的值．A．0B．1C．6D．6【错解】选A.原式＝coscos(sin1)＋cosθcosθsinθ＋cosθ＝－cosθcosθsinθ＋cosθ＋cosθcosθsinθ＋cosθ＝0.【错因分析】错解中混淆了诱导公式sin(3π2－θ)＝－cosθ，sin(3π2＋θ)＝－cosθ，cos(π－θ)＝－cosθ，cos(π＋θ)＝－cosθ.【试题解析】原式＝coscos(cos1)＋cosθ－cosθcosθ＋cosθ＝11＋cosθ＋11－cosθ＝2sin2θ，因为sinθ＝33，所以所求三角函数式的值为2263()3.【参考答案】C1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似πk的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．3．利用诱导公式化简三角函数式的思路：（1）分析结构特点，选择恰当公式；（2）利用公式化成单角三角函数；（3）整理得最简形式．利用诱导公式化简三角函数式的要求：（1）化简过程是恒等变形；（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．4．巧用相关角的关系能简化解题的过程．常见的互余关系有π3与π6，π3与π6，π4与π4等；常见的互补关系有π3与2π3，π4与3π4等.3．若，则A．B．C．D．【答案】D【解析】由两边同时平方，可得，，解得..故选D.【名师点睛】在三角函数式的求值与化简中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简．要作出正确选择，需认真选择诱导公式，不能错用公式．对于nπ＋α，若n是偶数，则角nπ＋α的三角函数值等于角α的同名三角函数值；若n为奇数，则角nπ＋α的三角函数值等于角π＋α的同名三角函数值．易错点4不能正确理解三角函数图象变换规律为得到函数y＝cos(2x＋π3)的图象，只需将函数y＝sin2x的图象A．向左平移5π12个长度单位B．向右平移5π12个长度单位C．向左平移5π6个长度单位D．向右平移5π6个长度单位【错解】选B.y＝cos(2x＋π3)＝sin(2x＋π3＋π2)＝sin2(x＋5π12)，因此向右平移5π12个长度单位，故选B．【错因分析】没有注意到变换方向导致了错解，目标是y＝cos(2x＋π3)的图象．【试题解析】y＝cos(2x＋π3)＝sin(2x＋π3＋π2)＝sin(2x＋5π6)＝sin2(x＋5π12)，因此将函数y＝sin2x的图象向左平移5π12个长度单位即可．故选A．【参考答案】A函数图象的平移变换解题策略（1）对函数y=sinx，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.4．已知函数的部分图象如图所示，且，，则A．B．C．D．【答案】D【解析】由图象可得，，解得，故，代入点可得，，即有，，又，，故.又，.，.故选D.【名师点睛】根据y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即；②k的确定：根据图象的最高点和最低点，即；③ω的确定：结合图象，先求出周期T，然后由(ω0)来确定ω；④φ的确定：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为(即令ωx＋φ＝0，x＝)确定φ.函数sin2fxx的图象向右平移个单位长度误写成sin2gxx.（1）三角函数图象变换是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住“只能对函数关系式中的,xy变换”的原则.（2）对于三角函数图象平移变换问题,其平移变换规则是“左加右减”,并且在变换过程中只变换其中的自变量x,如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向,另外,当两个函数的名称不同时,首先要将函数名称统一,其次要把x变换成()x,最后确定平移的单位,并根据的符号确定平移的方向.易错点5注意符号对三角函数性质的影响已知函数f(x)＝2cosπ3－x2.（1）求f(x)的单调递增区间；（2）若x∈[－π，π]，求f(x)的最大值和最小值．【错解】（1）由－π≤π3－x2≤0得，2π3≤x≤8π3，∴f(x)的单调递增区间为2π3，8π3.（2）∵－1≤cosπ3－x2≤1，∴[f(x)]max＝2，[f(x)]min＝－2.【错因分析】（1）忽略了函数f(x)的周期性；（2）忽略了x∈[－π，π]对函数f(x)的最值的影响．【参考答案】（1）函数()fx的单调递增区间为[4kπ－4π3，4kπ＋2π3](k∈Z)；（2）f(x)max＝2，f(x)min＝－3.1．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.2．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法（1）形如y=asinx＋bcosx＋k的三角函数化为y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；（2）形如y=asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；（3）形如y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．3．三角函数单调性问题的常见类型及解题策略（1）已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y=Asin（ωx＋φ）或y=Acos（ωx＋φ）（其中，ω0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．（2）已知三角函数的单调区间求参数：先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．（3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）：形如y=Asin（ωx＋φ）＋b或可化为y=Asin（ωx＋φ）＋b的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决.4．三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法（1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y=Asin(ωx＋φ)，y=Acos(ωx＋φ)，y=Atan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T=2||，T=2||，T=||求解．（2）对于函数y=Asin（ωx＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x=x0或点（x0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f（x0）的值进行判断．（3）若f（x）=Asin（ωx＋φ）为偶函数，则φ=kπ＋2（kZ），同时当x=0时，f（x）取得最大或最小值．若f（x）=Asin（ωx＋φ）为奇函数，则φ=kπ（k∈Z），同时当x=0时，f（x）=0.5．已知函数．将的图象向左平移个单位长度后所得的函数为偶函数，则关于函数，下列命题正确的是A．函数在区间上有最小值B．函数在区间上单调递增C．函数的一条对称轴为D．函数的一个对称点为【答案】B【解析】由题意知平移后的解析式为：，因为此函数为偶函数，所以y轴为其对称轴之一，所以将代入可得，解得：，由的取值范围可得，所以原解析式为，A选项，将区间代入函数，可得，根据图象可知无最值，B选项，将区间代入函数，可得，根据图象知函数单调递增，C选项，将代入函数，可得，所以应为对称中心的横坐标，D选项，将代入函数，可得，所以应为对称轴与x轴交点.故选B.【名师点睛】本题综合考查函数图象的变换以及对称轴、对称中心、单调区间、最值等知识点，需要明确解题思路，注意结合图象解题，会更容易理解.三角函数的图象与性质是高考考试的重点与难点,掌握三角