【新高考复习】第一节 集合 教案

第一章集合与常用逻辑用语、不等式第一节集合核心素养立意下的命题导向1.与方程、函数、不等式等相结合考查集合元素的性质，凸显数学抽象的核心素养.2.与不等式相结合考查集合的基本关系，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养.3.与不等式、数轴、Venn图等相结合考查集合的运算，凸显数学运算、直观想象的核心素养.[理清主干知识]1．集合的有关概念(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR2．集合间的基本关系表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于AAB或BA相等集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素A⊆B且B⊆A⇔A＝B空集空集是任何集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅B且B≠∅3．有限集的子集个数设集合A是有n(n∈N*)个元素的有限集，即card(A)＝n.(1)A的子集个数是2n；(2)A的真子集个数是2n－1；(3)A的非空子集个数是2n－1；(4)A的非空真子集个数是2n－2.4．集合的三种基本运算符号表示图形表示符号语言集合的并集A∪BA∪B＝{x|x∈A，或x∈B}集合的交集A∩BA∩B＝{x|x∈A，且x∈B}集合的补集若全集为U，则集合A的补集为∁UA∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}5.集合基本运算的性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A.(3)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(集合的表示)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4答案：A2．(并集与交集的运算)设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x3}，则(A∩C)∪B＝()A．{2}B．{2,3}C．{－1,2,3}D．{1,2,3,4}答案：D3．(全集与补集的运算)设全集为R，集合A＝{x|0x2}，B＝{x|x1}，则A∩(∁RB)＝()A．{x|0x≤1}B．{x|0x1}C．{x|1≤x2}D．{x|0x2}答案：C4．(相等集合)设集合M＝{1，x，y}，N＝{x，x2，xy}，且M＝N，则x2021＋y2020＝________.答案：－1二、易错点练清1．(忽视元素的互异性)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝()A．1B．0或1或3C．0或3D．1或3解析：选C由B⊆A，得m＝3或m＝m，解m＝m，得m＝0或m＝1，由集合元素的互异性知m≠1.∴m＝0或3.2．(忽视空集的情形)已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是()A．－1B．1C．－1或1D．0或1或－1解析：选D由M∩N＝N，得N⊆M，当N＝∅时，a＝0；当N≠∅时，1a＝a，解得a＝±1，故a的值为±1,0.3．(忽视集合运算中端点取值)已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．解析：因为集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，所以B⊆A，如图所示，所以m≥3.答案：[3，＋∞)考点一集合的基本概念[典例](1)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4(2)设A＝2，3，a2－3a，a＋2a＋7，B＝{|a－2|,3}，已知4∈A且4∉B，则a的取值集合为________．[解析](1)将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.(2)因为4∈A，即4∈2，3，a2－3a，a＋2a＋7，所以a2－3a＝4或a＋2a＋7＝4.若a2－3a＝4，则a＝－1或a＝4；若a＋2a＋7＝4，即a2＋3a＋2＝0，则a＝－1或a＝－2.由a2－3a与a＋2a＋7互异，得a≠－1.故a＝－2或a＝4.又4∉B，即4∉{|a－2|,3}，所以|a－2|≠4，解得a≠－2且a≠6.综上所述，a的取值集合为{4}．[答案](1)A(2){4}[方法技巧]与集合元素有关问题的解题策略(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．[针对训练]1．(多选)实数1是下面哪个集合中的元素()A．整数集ZB.{}x|x＝|x|C.{}x∈N|－1x1D.x∈Rx－1x＋1≤0解析：选ABD对于A，∵1是整数，∴1∈Z，故A正确．对于B，∵x＝|x|，∴x≥0，∵10，∴B正确．对于C，∵{}x∈N|－1x1＝{}0，1不在集合中，∴C不正确．对于D，∵x∈Rx－1x＋1≤0＝{}x∈R|－1x≤1，1是集合中的元素，∴D正确．故选A、B、D.2．已知集合A＝{1，x2}．若x2∈{1,3,9，x}，则x＝________.解析：由题意知，x2≠1，∴x≠±1.∵x2∈{1,3,9，x}，∴若x2＝3，则x＝±3，经检验可知符合题意；若x2＝9，则x＝±3，经检验，x＝3不满足集合元素的互异性，舍去；若x2＝x，则x＝0或x＝1，经检验，x＝1不满足集合元素的互异性，舍去．综上可知x＝3或－3或－3或0.答案：3或－3或－3或03．设集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，且A，B中有唯一的公共元素9，则实数a的值为________．解析：因为集合A，B中有唯一的公共元素9，所以9∈A.若2a－1＝9，即a＝5，此时A＝{－4,9,25}，B＝{9,0，－4}，则集合A，B中有两个公共元素－4,9，与已知矛盾，舍去．若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{9，－2，－2}，B中有两个元素均为－2，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{9，－8,4}，符合题意．综上所述，a＝－3.答案：－3考点二集合间的基本关系[典例](1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为()A．7B．8C．15D．16(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．[解析](1)法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1,2,3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．法二：因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)．(2)因为B⊆A，所以，①若B＝∅，则2m－1m＋1，此时m2.②若B≠∅，则2m－1≥m＋1，m＋1≥－2，2m－1≤5.解得2≤m≤3.由①、②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．[答案](1)A(2)(－∞，3][方法技巧]解决有关集合间的基本关系问题的策略(1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系，如果集合中含有参数，需要对式子进行变形，有时需要进一步对参数分类讨论．(2)确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数．[提醒]不能忽略任何非空集合是它自身的子集．(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系，常用数轴法、Venn图法．[针对训练]1．已知集合M＝{x|y＝1－x2，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是()A．MNB．NMC．M⊆∁RND．N⊆∁RM解析：选B依题意知，M＝{x|y＝1－x2，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以NM.故选B.2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0x5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选D求解一元二次方程，得A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}＝{x|(x－1)(x－2)＝0，x∈R}＝{1,2}，易知B＝{x|0x5，x∈N}＝{1,2,3,4}．因为A⊆C⊆B，所以根据子集的定义，集合C必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{3,4}的子集个数，即有22＝4个，故选D.考点三集合的基本运算考法(一)集合间的交、并、补运算[例1](1)(多选)(2021·山东滨州期末)设全集U＝{}0，1，2，3，4，集合A＝{}0，1，4，B＝{}0，1，3，则()A．A∩B＝{}0，1B．∁UB＝{}4C．A∪B＝{}0，1，3，4D．集合A的真子集个数为8(2)(2021年1月新高考八省联考卷)已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝()A．∅B．MC．ND．R[解析](1)∵全集U＝{}0，1，2，3，4，A＝{}0，1，4，B＝{}0，1，3，∴A∩B＝{}0，1，∁UB＝{2,4}，A∪B＝{0,1,3,4}，集合A的真子集个数为23－1＝7，故选A、C.(2)如图所示，易知答案为B.[答案](1)AC(2)B[方法技巧]解决集合运算问题3个技巧看元素构成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键对集合化简有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决应用数形常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图考法(二)利用集合的运算求参数[例2](1)(2020·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝()A．－4B．－2C．2D．4(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．[解析](1)易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝xx≤－a2，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－a2＝1，解得a＝－2.故选B.(2)根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，只能是a＝4.[答案](1)B(2)4[方法技巧]利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．[提醒]在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．[针对训练]1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2x4}，则A∪B＝()A．{x|2x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x4}D．{x|1x4}解析：选C因为A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2x4}，所以A∪B＝{x|1≤x4}．2．已知集合A＝{x|－1x1}，B＝{x|x2－x－20}，则(∁RA)∩B＝()A．(－1,0]B．[－1,2)C．[1,2)D．(1,2]解析：选C∵A＝{x|－1x1}，B＝{x|x2－x－20}＝{x|－1x2}，∁RA＝{x|x≤－1或x≥1}，则(∁RA)∩B＝{x|1≤x2}，故选C.3．已知集合A＝{x|x3}，B＝{x|xa}，若A∩B≠∅，则实数a