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§3.2导数与函数的单调性[考试要求]1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y=f(x)在区间(a,b)上可导f′(x)0f(x)在(a,b)上单调递增f′(x)0f(x)在(a,b)上单调递减f′(x)=0f(x)在(a,b)上是常数函数微思考1.“f′(x)0在(a,b)上成立”是“f(x)在(a,b)上单调递增”的什么条件?提示若f(x)在(a,b)上单调递增,则f′(x)≥0,所以“f′(x)0在(a,b)上成立”是“f(x)在(a,b)上单调递增”的充分不必要条件.2.若函数f(x)在区间(a,b)上存在递增区间,则在区间(a,b)上,f′(x)应满足什么条件?提示若f(x)在(a,b)上存在递增区间,则当x∈(a,b)时,f′(x)0有解.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.(√)(2)在(a,b)内f′(x)≤0且f′(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内单调递减.(√)(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)0,则f(x)在定义域上一定单调递增.(×)(4)函数f(x)=x-sinx在R上是增函数.(√)题组二教材改编2.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下列判断正确的是()A.在区间(-2,1)上f(x)单调递增B.在区间(1,3)上f(x)单调递减C.在区间(4,5)上f(x)单调递增D.在区间(3,5)上f(x)单调递增答案C解析在(4,5)上f′(x)0恒成立,∴f(x)在区间(4,5)上单调递增.3.函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间上单调递增()A.π2,3π2B.(π,2π)C.3π2,5π2D.(2π,3π)答案B解析y′=-xsinx,经验证,4个选项中只有在(π,2π)内y′0恒成立,∴y=xcosx-sinx在(π,2π)上单调递增.4.函数f(x)=(x-2)ex的单调递增区间为________.答案(1,+∞)解析f(x)的定义域为R,f′(x)=(x-1)ex,令f′(x)=0,得x=1,当x∈(1,+∞)时,f′(x)0;当x∈(-∞,1)时,f′(x)0,∴f(x)的单调递增区间为(1,+∞).题组三易错自纠5.若函数f(x)=13x3-32x2+ax+4的单调递减区间为[-1,4],则实数a的值为________.答案-4解析f′(x)=x2-3x+a,且f(x)的单调递减区间为[-1,4],∴f′(x)=x2-3x+a≤0的解集为[-1,4],∴-1,4是方程f′(x)=0的两根,则a=(-1)×4=-4.6.若y=x+a2x(a0)在[2,+∞)上单调递增,则a的取值范围是________.答案(0,2]解析方法一由y′=1-a2x2≥0,得x≤-a或x≥a.∴y=x+a2x的单调递增区间为(-∞,-a],[a,+∞).∵函数在[2,+∞)上单调递增,∴[2,+∞)⊆[a,+∞),∴a≤2.又a0,∴0a≤2.方法二y′=1-a2x2,依题意知1-a2x2≥0在x∈[2,+∞)上恒成立,即a2≤x2恒成立,∵x∈[2,+∞),∴x2≥4,∴a2≤4,又a0,∴0a≤2.题型一不含参的函数的单调性1.函数f(x)=x2-2lnx的单调递减区间是()A.(0,1)B.(1,+∞)C.(-∞,1)D.(-1,1)答案A解析∵f′(x)=2x-2x=2x+1x-1x(x0),令f′(x)=0,得x=1,∴当x∈(0,1)时,f′(x)0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f′(x)0,f(x)单调递增.2.函数f(x)=x+21-x的单调递增区间是()A.(0,1)B.(-∞,1)C.(-∞,0)D.(0,+∞)答案C解析f(x)的定义域为(-∞,1],f′(x)=1-11-x,令f′(x)=0,得x=0.当0x1时,f′(x)0.当x0时,f′(x)0.∴f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,1).3.已知定义在区间(0,π)上的函数f(x)=x+2cosx,则f(x)的单调递增区间为________.答案0,π6,5π6,π解析f′(x)=1-2sinx,x∈(0,π).令f′(x)=0,得x=π6或x=5π6,当0xπ6时,f′(x)0,当π6x5π6时,f′(x)0,当5π6xπ时,f′(x)0,∴f(x)在0,π6和5π6,π上单调递增,在π6,5π6上单调递减.4.函数f(x)=(x-1)ex-x2的单调递增区间为________,单调递减区间为________.答案(-∞,0),(ln2,+∞)(0,ln2)解析f(x)的定义域为R,f′(x)=xex-2x=x(ex-2),令f′(x)=0,得x=0或x=ln2,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表,x(-∞,0)0(0,ln2)ln2(ln2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)单调递增单调递减单调递增∴f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(ln2,+∞),单调递减区间为(0,ln2).思维升华确定不含参的函数的单调性,按照判断函数单调的步骤即可,但应注意一是不能遗忘求函数的定义域,二是函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或“和”隔开.题型二含参的函数的单调性例1已知函数f(x)=12ax2-(a+1)x+lnx,a0,试讨论函数y=f(x)的单调性.解函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=ax-(a+1)+1x=ax2-a+1x+1x=ax-1x-1x.①当0a1时,1a1,∴x∈(0,1)和1a,+∞时,f′(x)0;x∈1,1a时,f′(x)0,∴函数f(x)在(0,1)和1a,+∞上单调递增,在1,1a上单调递减;②当a=1时,1a=1,∴f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;③当a1时,01a1,∴x∈0,1a和(1,+∞)时,f′(x)0;x∈1a,1时,f′(x)0,∴函数f(x)在0,1a和(1,+∞)上单调递增,在1a,1上单调递减.综上,当0a1时,函数f(x)在(0,1)和1a,+∞上单调递增,在1,1a上单调递减;当a=1时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a1时,函数f(x)在0,1a和(1,+∞)上单调递增,在1a,1上单调递减.若将本例中参数a的范围改为a∈R,其他条件不变,试讨论f(x)的单调性?解当a0时,讨论同上;当a≤0时,ax-10,∴x∈(0,1)时,f′(x)0;x∈(1,+∞)时,f′(x)0,∴函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.综上,当a≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;当0a1时,函数f(x)在(0,1)和1a,+∞上单调递增,在1,1a上单调递减;当a=1时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a1时,函数f(x)在0,1a和(1,+∞)上单调递增,在1a,1上单调递减.思维升华(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为零的点和函数的间断点.跟踪训练1讨论下列函数的单调性.(1)f(x)=x-alnx;(2)g(x)=(x-a-1)ex-(x-a)2.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-ax=x-ax,令f′(x)=0,得x=a,①当a≤0时,f′(x)0在(0,+∞)上恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,②当a0时,x∈(0,a)时,f′(x)0,x∈(a,+∞)时,f′(x)0,综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,当a0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.(2)g(x)的定义域为R,g′(x)=(x-a)ex-2(x-a)=(x-a)(ex-2),令g′(x)=0,得x=a或x=ln2,①当aln2时,x∈(-∞,ln2)∪(a,+∞)时,f′(x)0,x∈(ln2,a)时,f′(x)0,②当a=ln2时,f′(x)≥0恒成立,∴f(x)在R上单调递增,③当aln2时,x∈(-∞,a)∪(ln2,+∞)时,f′(x)0,x∈(a,ln2)时,f′(x)0,综上,当aln2时,f(x)在(-∞,ln2),(a,+∞)上单调递增,在(ln2,a)上单调递减;当a=ln2时,f(x)在R上单调递增;当aln2时,f(x)在(-∞,a),(ln2,+∞)上单调递增,在(a,ln2)上单调递减.题型三函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例2(1)已知函数f(x)=xsinx,x∈R,则fπ5,f(1),f-π3的大小关系为()A.f-π3f(1)fπ5B.f(1)f-π3fπ5C.fπ5f(1)f-π3D.f-π3fπ5f(1)答案A解析因为f(x)=xsinx,所以f(-x)=(-x)·sin(-x)=xsinx=f(x),所以函数f(x)是偶函数,所以f-π3=fπ3.又当x∈0,π2时,f′(x)=sinx+xcosx0,所以函数f(x)在0,π2上是增函数,所以fπ5f(1)fπ3,即f-π3f(1)fπ5,故选A.(2)已知函数f(x)=ex-e-x-2x+1,则不等式f(2x-3)1的解集为________.答案32,+∞解析f(x)=ex-e-x-2x+1,定义域为R,f′(x)=ex+e-x-2≥2ex·e-x-2=0,当且仅当x=0时取“=”,∴f(x)在R上单调递增,又f(0)=1,∴原不等式可化为f(2x-3)f(0),即2x-30,解得x32,∴原不等式的解集为32,+∞.命题点2根据函数的单调性求参数的值(范围)例3已知函数f(x)=lnx-12ax2-2x(a≠0)在[1,4]上单调递减,则a的取值范围是________.答案-716,0∪(0,+∞)解析因为f(x)在[1,4]上单调递减,所以当x∈[1,4]时,f′(x)=1x-ax-2≤0恒成立,即a≥1x2-2x恒成立.设G(x)=1x2-2x,x∈[1,4],所以a≥G(x)max,而G(x)=1x-12-1,因为x∈[1,4],所以1x∈14,1,所以G(x)max=-716(此时x=4),所以a≥-716,又因为a≠0,所以a的取值范围是-716,0∪(0,+∞).本例中,若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间,求a的取值范围.解因为f(x)在[1,4]上存在单调递减区间,则f′(x)0在[1,4]上有解,所以当x∈[1,4]时,a1x2-2x有解,又当x∈[1,4]时,1x2-2xmin=-1(此时x=1),所以a-1,又因为a≠0,所以a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).思维升华根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0),且在(a,b)内的任一非空子区间上,f′(x)不恒为零,应注
本文标题:【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第3章 §3.2 导数与函数的单调性
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