【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第3章 §3.3　导数与函数的极值、最值

§3.3导数与函数的极值、最值考试要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．1．函数的极值与导数条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0图象极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．微思考1．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的什么条件？提示必要不充分．2．函数的极大值一定大于极小值吗？提示不一定．函数的极大值可能大于、小于或等于函数的极小值．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．(×)(2)函数的极小值一定是函数的最小值．(×)(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(√)(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(×)题组二教材改编2．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．4答案A解析由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．3．当x0时，lnx，x，ex的大小关系是________．答案lnxxex解析构造函数f(x)＝lnx－x，则f′(x)＝1x－1，可得x＝1为函数f(x)在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f(x)≤f(1)＝－10，所以lnxx.同理可得xex，故lnxxex.4．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________．答案227a3解析容积V＝(a－2x)2x,0xa2，则V′＝2(a－2x)×(－2x)＋(a－2x)2＝(a－2x)(a－6x)，由V′＝0得x＝a6或x＝a2(舍去)，则x＝a6为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时Vmax＝227a3.题组三易错自纠5．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－6]∪[6，＋∞)B．(－∞，－6)∪(6，＋∞)C．(－6，6)D．[－6，6]答案B解析f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(2a)2－4×3×20，解得a6或a－6.6．若函数f(x)＝13x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.答案4解析f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)0，当x∈(2,3]时，f′(x)0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.题型一利用导数求函数的极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1(多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．f(x)有两个极值点B．f(0)为函数的极大值C．f(x)有两个极小值D．f(－1)为f(x)的极小值答案BC解析由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)0，∴f′(x)0，当x∈(－2,0)时，g(x)0，∴f′(x)0，当x∈(0,1)时，g(x)0，∴f′(x)0，当x∈(1，＋∞)时，g(x)0，∴f′(x)0.∴f(x)在(－∞，－2)，(0,1)上单调递减，在(－2,0)，(1，＋∞)上单调递增．故AD错误，BC正确．命题点2求已知函数的极值例2已知函数f(x)＝x2－1－2alnx(a≠0)，求函数f(x)的极值．解因为f(x)＝x2－1－2alnx(x0)，所以f′(x)＝2x－2ax＝2x2－ax.①当a0时，因为x0，且x2－a0，所以f′(x)0对x0恒成立．所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值．②当a0时，令f′(x)＝0，解得x1＝a，x2＝－a(舍去)．所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，a)a(a，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以当x＝a时，f(x)取得极小值，且f(a)＝(a)2－1－2alna＝a－1－alna．无极大值．综上，当a0时，函数f(x)在(0，＋∞)上无极值．当a0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－1－alna，无极大值．命题点3已知极值(点)求参数例3(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＋b＝________.答案11解析f′(x)＝3x2＋6ax＋b，由题意得f′－1＝0，f－1＝0，解得a＝1，b＝3或a＝2，b＝9，当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，∴f(x)在R上单调递增，∴f(x)无极值，所以a＝1，b＝3不符合题意，当a＝2，b＝9时，经检验满足题意．∴a＋b＝11.(2)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．答案0，12解析f(x)＝x(lnx－ax)，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋lnx－2ax.由题意知，当x0时，1＋lnx－2ax＝0有两个不相等的实数根，即2a＝1＋lnxx有两个不相等的实数根，令φ(x)＝1＋lnxx(x0)，∴φ′(x)＝－lnxx2.当0x1时，φ′(x)0；当x1时，φ′(x)0，∴φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝1，当x→0时，φ(x)→－∞，当x→＋∞时，φ(x)→0，则02a1，即0a12.思维升华函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤①确定函数的定义域．②求导数f′(x)．③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根．④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．②验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1(1)(2020·滨州模拟)已知x＝1是f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，1)答案D解析f′(x)＝[x2－(a＋1)x＋a]ex＝(x－a)(x－1)ex.令f′(x)＝0，得(x－a)(x－1)ex＝0.设g(x)＝(x－1)(x－a)．①当a＝1时，g(x)≥0，f′(x)≥0，f(x)没有极值．②当a1时，当xa或x1时，g(x)0，f′(x)0；当1xa时，g(x)0，则f′(x)0.∴x＝1是函数f(x)的极大值点，不符合题意．③当a1时，当x1或xa时，f′(x)0，当ax1时，f′(x)0.所以x＝1是f(x)的极小值点，符合题意．综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1)．(2)若函数f(x)＝x2－x＋alnx有极值，则实数a的取值范围是________．答案－∞，18解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－1＋ax＝2x2－x＋ax，由题意知y＝f′(x)有变号零点，令2x2－x＋a＝0，即a＝－2x2＋x(x0)，令φ(x)＝－2x2＋x＝－2x－142＋18(x0)，其图象如图所示，故a18.题型二利用导数求函数的最值例4已知函数g(x)＝alnx＋x2－(a＋2)x(a∈R)．(1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值；(2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a)．解(1)∵a＝1，∴g(x)＝lnx＋x2－3x，∴g′(x)＝1x＋2x－3＝2x－1x－1x，∵x∈[1，e]，∴g′(x)≥0，∴g(x)在[1，e]上单调递增，∴g(x)max＝g(e)＝e2－3e＋1.(2)g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝ax＋2x－(a＋2)＝2x2－a＋2x＋ax＝2x－ax－1x.①当a2≤1，即a≤2时，g(x)在[1，e]上单调递增，h(a)＝g(1)＝－a－1；②当1a2e，即2a2e时，g(x)在1，a2上单调递减，在a2，e上单调递增，h(a)＝ga2＝alna2－14a2－a；③当a2≥e，即a≥2e时，g(x)在[1，e]上单调递减，h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋e2－2e.综上，h(a)＝－a－1，a≤2，alna2－14a2－a，2a2e，1－ea＋e2－2e，a≥2e.思维升华(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数在[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．(4)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．跟踪训练2已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．解(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f(x)＝－x＋lnx，f′(x)＝－1＋1x＝1－xx，令f′(x)＝0，得x＝1.当0x1时，f′(x)0；当x1时，f′(x)0.∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴f(x)max＝f(1)＝－1.∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.(2)f′(x)＝a＋1x，x∈(0，e]，1x∈1e，＋∞.①若a≥－1e，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上单调递增，∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意．②若a－1e，令f′(x)0得a＋1x0，结合x∈(0，e]，解得0x－1a；令f′(x)0得a＋1x0，结合x∈(0，e]，解得－1ax≤e.从而f(x)在0，－1a上单调递增，在－1a，e上单调递减，∴f(x)max＝f－1a＝－1＋ln－1a.令－1＋ln－1a＝－3，得ln－1a＝－2，即a＝－e2.∵－e2－1e，∴a＝－e2为所求．故实数a的值为－e2.课时精练1．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是()A．x＝1B．x＝－1C．x＝1或－1或0D．x＝0答案C解析f′(x)＝2(x2－1)·2x＝4x(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝－1或x＝1.2．函数y＝xex在[0,2]上的最大值是()A.1eB.2e2C．0D.12e答案A解析易知y′＝1－xex，x∈[0,2]，令y′0，得0≤x1，令y′0，得1x≤2，所以函数y＝xex在[0,1)上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以y＝xex在[0,2]上的最大值是1e，故选A.3．已知函数f(x)＝2lnx＋ax2－3x在x＝