【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第4章 §4.1　任意角和弧度制、三角函数的概

§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念考试要求1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝π180rad；1rad＝180π°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r23.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．微思考1．总结一下三角函数值在各象限符号为正的规律．提示一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α的三角函数？提示设点P到原点O的距离为r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(×)(2)角α＝kπ＋π3(k∈Z)是第一象限角．(×)(3)若sinα＝sinπ7，则α＝π7.(×)(4)－300°角与60°角的终边相同．(√)题组二教材改编2．终边落在第一象限角平分线上的角的集合是________________．(用角度表示)答案{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}3．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为____弧度．答案π34．若角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－1,2)，则sinα－cosα＋tanα＝________.答案35－105题组三易错自纠5．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案AC解析因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°2αk·360°＋180°，k∈Z，则有k·180°αk·180°＋90°，k∈Z.故当k＝2n，n∈Z时，n·360°αn·360°＋90°，n∈Z，α为第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°αn·360°＋270°，n∈Z，α为第三象限角．故选AC.6．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sinθ＝－31010，则y＝________.答案－3解析因为sinθ＝－310100，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y0，由三角函数的定义，得yy2＋1＝－31010.解得y＝－3.题型一角及其表示1．下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋9π4(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)答案C解析与角9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋9π4(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．2．集合αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案C解析当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.3．设集合M＝xx＝k2·180°＋45°，k∈Z，N＝xx＝k4·180°＋45°，k∈Z，那么()A．M＝NB．M⊆NC．N⊆MD．M∩N＝∅答案B解析由于M中，x＝k2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝k4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B.4．若角α是第二象限角，则α2是第________象限角．答案一或三解析∵α是第二象限角，∴π2＋2kπαπ＋2kπ，k∈Z，∴π4＋kπα2π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．综上，α2是第一或第三象限角．思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．(2)确定kα，αk(k∈N*)的终边位置的方法先写出kα或αk的范围，然后根据k的可能取值确定kα或αk的终边所在位置．题型二弧度制及其应用例1一扇形的圆心角α＝π3，半径R＝10cm，求该扇形的面积．解由已知得α＝π3，R＝10cm，∴S扇形＝12α·R2＝12·π3·102＝50π3(cm2)．1．若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．解l＝α·R＝π3×10＝10π3(cm)，S弓形＝S扇形－S三角形＝50π3－12·R2·sinπ3＝50π3－12·102·32＝50π－7533(cm2)．2．若将本例已知条件改为：“扇形周长为20cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R(0R10)．所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5cm时，S取得最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝2rad.思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．跟踪训练1(1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为()A．120B．240C．360D．480答案A解析∵圆的直径为16步，∴圆的半径为8步，又∵弧长为30步，∴扇形面积S＝12·8·30＝120(平方步)．(2)一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．答案518解析设圆的半径为r，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，由扇形面积等于圆面积的527，可得12α2r32πr2＝527，解得α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为lC＝5π6·2r32πr＝518.题型三三角函数的概念例2(1)已知角α的终边与单位圆的交点为P－12，y，则sinα·tanα等于()A．－33B．±33C．－32D．±32答案C解析设O为坐标原点，由OP2＝14＋y2＝1，得y2＝34，y＝±32.方法一当y＝32时，sinα＝32，tanα＝－3，此时，sinα·tanα＝－32.当y＝－32时，sinα＝－32，tanα＝3，此时，sinα·tanα＝－32.所以sinα·tanα＝－32.方法二由三角函数定义知，cosα＝－12，sinα＝y，所以sinαtanα＝sinαsinαcosα＝sin2αcosα＝y2－12＝34－12＝－32.(2)若α为第二象限角，则cos2α，cosα2，1sin2α中，其值必为正的有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案A解析由题意知，2kπ＋π2α2kπ＋π(k∈Z)，则4kπ＋π2α4kπ＋2π(k∈Z)，所以2α的终边在第三、第四象限或y轴的负半轴上，所以sin2α0，cos2α可正可负也可为零．因为kπ＋π4α2kπ＋π2(k∈Z)，所以α2的终边在第一或第三象限，所以cosα2可正可负．故选A.(3)已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sinα＝2m4，则cosα＝________，tanα＝________.答案－64153或－153解析设P(x，y)，由题设知x＝－3，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－3)2＋m2(O为原点)，即r＝3＋m2，所以sinα＝mr＝2m4＝m22，所以r＝3＋m2＝22，即3＋m2＝8，解得m＝±5，当m＝5时，r＝22，x＝－3，y＝5，所以cosα＝－322＝－64，tanα＝－153；当m＝－5时，r＝22，x＝－3，y＝－5，所以cosα＝－322＝－64，tanα＝153.思维升华(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．跟踪训练2(1)已知角α的终边经过点(3，－4)，则sinα＋1cosα等于()A．－15B.3715C.3720D.1315答案D解析因为角α的终边经过点(3，－4)，所以sinα＝－45，cosα＝35，所以sinα＋1cosα＝－45＋53＝1315.故选D.(2)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为()A．－12B．－32C.12D.32答案C解析由题意得点P(－8m，－3)，r＝64m2＋9，所以cosα＝－8m64m2＋9＝－45，所以m＝12.(3)设θ是第三象限角，且cosθ2＝－cosθ2，则θ2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案B解析由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角，∵cosθ2＝－cosθ2，∴cosθ20，综上可知，θ2为第二象限角．课时精练1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4答案C解析①中－3π4是第三象限角，从而①错．②中4π3＝π＋π3，则4π3是第三象限角，从而②正确．③中－400°＝－360°－40°，从而③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．2．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B解析由题意知tanα0，cosα0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.3．若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为()A.αα＝k·2π－π4，k∈ZB.αα＝k·2π＋3π4，k∈ZC.αα＝k·π－3π4，k∈ZD.αα＝k·π－π4，k∈Z答案D解析由图知，角α的取值集合为αα＝2nπ＋3π4，n∈Z∪αα＝2nπ－π4，n∈Z＝αα＝2n＋1π－π4，n∈Z∪αα＝2nπ－π4，n∈Z＝αα＝kπ－π4，k∈Z.4．(2021·杭州第二中学模拟)若扇形的面积为3π8、半径为1，则扇形的圆心角为()A.3π2B.3π4C.3π8D.3π16答案B解析设扇形的圆心角为α，∵扇形的面积为3π