【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第4章 强化训练4　三角函数中的综合问题

强化训练4三角函数中的综合问题1.(2020·北京东城区模拟)《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”(一步≈1.5米)意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为()A.135平方米B.270平方米C.540平方米D.1080平方米答案B解析根据扇形的面积公式，S＝12lr＝12×45×242＝270(平方米).2.(2021·日照联考)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点O，以x轴非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m0)，则下列各式的值恒大于0的是()A.sinα＋cosαB.sinα－cosαC.sinαcosαD.sinαtanα答案D解析由题意知sinα0，cosα0，sinα＋cosα的符号不确定，A不成立；sinα－cosα0，B不成立；sinαcosα0，C不成立；tanα0，sinαtanα0，D成立.3.(2021·张家口质检)已知锐角α满足3cos2α＝1＋sin2α，则cosα等于()A.255B.55C.65D.195答案A解析3cos2α＝1＋sin2α可化简为3(cos2α－sin2α)＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα，即3(cosα－sinα)(sinα＋cosα)＝(sinα＋cosα)2，因为α为锐角，所以3(cosα－sinα)＝sinα＋cosα，化简得到cosα＝2sinα，代入sin2α＋cos2α＝1，解得cosα＝255.4.(2020·东三省四市模拟)已知直线y＝－2与函数f(x)＝2sinωx－π3(其中ω＞0)的相邻两交点间的距离为π，则函数f(x)的单调递增区间为()A.kπ－π6，kπ＋5π6，k∈ZB.kπ－π12，kπ＋5π12，k∈ZC.kπ－5π6，kπ＋11π6，k∈ZD.kπ－5π6，kπ＋11π12，k∈Z答案B解析∵y＝－2与函数f(x)＝2sinωx－π3(其中ω＞0)的相邻两交点间的距离为π，∴函数的周期T＝π，即2πω＝π，得ω＝2，则f(x)＝2sin2x－π3，由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z.5.(多选)给出下列函数：①y＝cos|2x|；②y＝|cosx|；③y＝cos2x＋π6；④y＝tan2x－π4.其中最小正周期为π的有()A.①B.②C.③D.④答案ABC解析①中，y＝cos|2x|＝cos2x，其最小正周期为π；②中，知y＝|cosx|是y＝cosx将x轴下方的部分向上翻折得到的，故周期减半，即y＝|cosx|的最小正周期为π；③中，y＝cos2x＋π6的最小正周期T＝2π2＝π；④中，y＝tan2x－π4的最小正周期T＝π2.6.(多选)(2020·宁德模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的最小正周期为π，且将图象向右平移π12个单位长度后得到的函数为偶函数，则下列关于f(x)的说法错误的是()A.关于点5π12，0对称B.关于直线x＝π6对称C.在－π12，5π12上单调递增D.在π12，7π12上单调递减答案ABD解析∵f(x)的最小正周期为π，∴T＝2πω＝π，得ω＝2，此时f(x)＝sin(2x＋φ)，将图象向右平移π12个单位长度后得到y＝sin2x－π12＋φ＝sin2x＋φ－π6，若函数为偶函数，则φ－π6＝kπ＋π2，k∈Z，得φ＝kπ＋2π3，k∈Z，∵|φ|π2，∴当k＝－1时，φ＝－π3，则f(x)＝sin2x－π3，则f5π12＝sin2×5π12－π3＝sinπ2＝1，故f(x)不关于点5π12，0对称，故A错误；fπ6＝sin2×π6－π3＝sin0＝0，故f(x)不关于直线x＝π6对称，故B错误；当－π12≤x≤5π12时，－π2≤2x－π3≤π2，此时函数f(x)为增函数，故C正确；当π12≤x≤7π12时，－π6≤2x－π3≤5π6，此时函数f(x)不单调，故D错误.7.(2020·咸阳模拟)若tanα＝13，tan(α＋β)＝12，则tanβ＝______.答案17解析因为β＝(α＋β)－α，且tanα＝13，tan(α＋β)＝12，所以tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tanα＋β－tanα1＋tanα＋β×tanα＝12－131＋12×13＝17，所以tanβ＝17.8.(2020·咸阳质检)已知cos2x－sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0，ω0)，则A＝________，b＝________.答案5212解析cos2x－sin2x＝1＋cos2x2－sin2x＝12cos2x－sin2x＋12＝52cos(2x＋θ)＋12＝52sin2x＋θ＋π2＋12(其中tanθ＝2)，∴A＝52，b＝12.9.(2020·邯郸模拟)已知α为锐角，且tanα＝m，cos2α＝－m2m2＋4，则sin2α＋π4＝________.答案23＋12解析∵cos2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝1－m21＋m2＝－m2m2＋4，解得m2＝2，∴cos2α＝－13，∵0απ2，∴02απ，∴sin2α＝1－cos22α＝223，∴sin2α＋π4＝1－cos2α＋π22＝12＋sin2α2＝23＋12.10.(2020·枣庄模拟)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω0)的最小正周期为π，且对x∈R，f(x)≥fπ3恒成立，若函数y＝f(x)在[0，a]上单调递减，则a的最大值为________.答案π3解析因为函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，所以ω＝2ππ＝2，又对任意的x，都使得f(x)≥fπ3，所以函数f(x)在x＝π3处取得最小值，则2π3＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，即φ＝π3＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝cos2x＋π3，令2kπ≤2x＋π3≤π＋2kπ，k∈Z，解得－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ，k∈Z，则函数y＝f(x)在0，π3上单调递减，故a的最大值是π3.11.已知函数f(x)＝3cos2x＋sinx＋π3·sinx－π6－32.(1)求f(x)的最小正周期及对称中心；(2)若f(α)＝16，且α∈π12，π3，求cos2α的值.解(1)f(x)＝3·1＋cos2x2＋sinπ2＋x－π6·sinx－π6－32＝32cos2x＋12×2cosx－π6sinx－π6＝32cos2x＋12sin2x－π3＝32cos2x＋12sin2x·12－cos2x·32＝12sin2x·12＋cos2x·32＝12sin2x＋π3.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.由2x＋π3＝kπ，k∈Z得x＝kπ2－π6，k∈Z，所以f(x)的对称中心为kπ2－π6，0，k∈Z.(2)由f(α)＝16得sin2α＋π3＝13，因为α∈π12，π3，所以2α＋π3∈π2，π，所以cos2α＋π3＝－1－sin22α＋π3＝－1－132＝－223，所以cos2α＝cos2α＋π3－π3＝cos2α＋π3·cosπ3＋sin2α＋π3·sinπ3＝－223·12＋13·32＝3－226.12.设f(x)＝23sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)把函数y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求gπ6的值.解(1)由f(x)＝23sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2＝23sin2x－(1－2sinxcosx)＝3(1－cos2x)＋sin2x－1＝sin2x－3cos2x＋3－1＝2sin2x－π3＋3－1.由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间是kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)或kπ－π12，kπ＋5π12k∈Z.(2)由(1)知f(x)＝2sin2x－π3＋3－1，把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sinx－π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位长度，得到y＝2sinx＋3－1的图象，即g(x)＝2sinx＋3－1.所以gπ6＝2sinπ6＋3－1＝3.13.(2020·厦门质检)已知函数f(x)＝sinωx＋π6＋cosωx(ω0)在[0，π]上的值域为32，3，则实数ω的取值范围是()A.16，13B.16，12C.13，12D.12，1答案A解析f(x)＝sinωx＋π6＋cosωx＝32sinωx＋32cosωx＝3sinωx＋π3，因为x∈[0，π]，所以ωx＋π3∈π3，ωπ＋π3，因为f(x)在[0，π]上的值域为32，3，所以π2≤ωπ＋π3≤2π3，所以16≤ω≤13.14.已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1ω0，|φ|π2，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为2π3，若f(x)1对任意x∈－π12，π6恒成立，则φ的取值范围是____________.答案－π4，0解析由题意可得函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1的最大值为3.∵f(x)的图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为2π3，∴f(x)的周期T＝2π3，∴2πω＝2π3，解得ω＝3，∴f(x)＝2cos(3x＋φ)＋1.∵f(x)1对任意x∈－π12，π6恒成立，∴2cos(3x＋φ)＋11，即cos(3x＋φ)0对任意x∈－π12，π6恒成立，∴－π4＋φ≥2kπ－π2，k∈Z且π2＋φ≤2kπ＋π2，k∈Z，解得φ≥2kπ－π4，k∈Z且φ≤2kπ，k∈Z，即2kπ－π4≤φ≤2kπ，k∈Z.结合|φ|π2可得，φ的取值范围为－π4，0.15.(2020·安庆模拟)已知函数f(x)＝2(|cosx|＋cosx)·sinx，给出下列五个命题：①f(x)的最小正周期为π；②f(x)的图象关于直线x＝π4对称；③f(x)在区间－π4，π4上单调递增；④f(x)的值域为[－2,2]；⑤f(x)在区间[－2π，2π]上有6个零点.其中所有正确的编号是()A.②④B.①④⑤C.③④D.②③⑤答案C解析f(x)＝2(|cosx|＋cosx)sinx＝2|cosx|sinx＋sin2x，函数fπ3＝3，f4π3＝0，∴fπ3≠f4π3，故函数f(x)的最小正周期不是π，故①错误；由于fπ2－x＝2cosπ2－x＋cosπ2－x·sinπ2－x＝2(|sinx|＋sinx)·cosx≠f(x)，故f(x)的图象不关于直线x＝π4对称，故②错误；在区间－π4，π4上，2x∈－π2，π2，f(x)＝2|cosx|sinx＋sin2x＝2sin2x单调递增，故③正确；当cosx≥0时，f(x)＝2|cosx|sinx＋sin2x＝2sinxcosx＋sin2x＝2sin