【新高考复习】专题06 导数 6.5利用导数研究不等式恒成立 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复

专题六《导数》讲义6.5利用导数研究不等式恒成立知识梳理.利用导数研究不等式恒成立1.恒成立问题:一般地，若af(x)对x∈D恒成立，则只需af(x)max；若af(x)对x∈D恒成立，则只需af(x)min.2.存在性问题：若存在x0∈D，使af(x0)成立，则只需af(x)min；若存在x0∈D，使af(x0)成立，则只需af(x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围．题型一.参变分离1．已知函数f（x）＝ax﹣lnx，若f（x）＞1在区间（1，+∞）内恒成立，则实数a的范围为．2．已知函数f（x）=𝑒𝑥𝑥−mx（e为自然对数的底数），若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，𝑒24）C．（﹣∞，e）D．（𝑒24，+∞）题型二.转化成两个函数1．已知函数𝑓(𝑥)=𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥−2𝑙𝑛(√𝑥2+1−𝑥)+1，若f（ax﹣ex+1）＞1在x∈（0，+∞）上有解，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（e，+∞）D．（1，e）2．已知函数f（x）＝x+xlnx，若k∈Z，且k（x﹣1）＜f（x）对任意的x＞1恒成立，则k的最大值为（）A．2B．3C．4D．5题型三.讨论参数1．不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为（）A．1B．√𝑒C．2D．e2．（2014·辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，−98]C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]3．设函数f（x）=𝑎𝑥+1𝑒𝑥（a∈R）．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a≤2时，证明：对任意x∈[0，+∞），f（x）≤x+1恒成立．题型四.隐零点、构造函数1．已知函数f（x）＝alnx﹣x+1（其中a∈R）．（1）讨论函数f（x）的极值；（2）对任意x＞0，f（x）≤12（a2﹣1）成立，求实数a的取值范围．2．设函数f（x）＝e2x+alnx．（1）讨论f（x）的导函数f'（x）零点的个数；（2）证明：当a＜0时，𝑓(𝑥)≥𝑎𝑙𝑛(−𝑎2)−2𝑎．3．已知函数f（x）＝﹣alnx−𝑒𝑥𝑥+𝑎𝑥，𝑎∈𝑅．（Ⅰ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）+xf′（x），若关于x的不等式g（x）≤﹣ex+𝑥22+(𝑎−1)𝑥在x∈[1，2]上有解，求a的取值范围．题型五.双变量问题1．已知函数f（x）＝x2+2alnx+3，若∀x1，x2∈[4，+∞）（x1≠x2），∃a∈[2，3]，𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)𝑥1−𝑥2＜2m，则m的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．[−52，+∞)C．(−92，+∞)D．[−194，+∞)2．已知函数f（x）=12lnx﹣mx（m∈R），g（x）＝x−𝑎𝑥（a＞0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若m=12𝑒2，对∀x1，x2∈[2，2e2]都有g（x1）≥f（x2）成立，求实数a的取值范围．3．已知f（x）＝lnx−𝑥4+34𝑥，g（x）＝﹣x2﹣2ax+4，若对任意的x1∈（0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围是．课后作业.恒成立1．已知函数f（x）＝xlnx．若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，则实数a的取值范围为．2．已知函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑙𝑛𝑎𝑥+𝑎𝑒𝑥，g（x）＝﹣x2+x，当x∈（0，+∞）时，f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[1𝑒2，+∞）B．[1𝑒，+∞）C．[1，+∞）D．[e，+∞）3．关于x的不等式x2﹣a（x﹣1）ex＜0恰有一个整数解，则实数a的取值范围是．4．设实数m＞0，若对任意的正实数x，不等式𝑒𝑚𝑥≥𝑙𝑛𝑥𝑚恒成立，则m的最小值为（）A．1𝑒B．12𝑒C．2𝑒D．𝑒35．已知函数f（x）＝x+4𝑥，g（x）=𝑎𝑥+1+x，若∀x1∈[12，1]，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是．6．已知a为实数，函数f（x）＝alnx+x2﹣4x．（1）若x＝3是函数f（x）的一个极值点，求实数a的取值；（2）设g（x）＝（a﹣2）x，若∃x0∈[1𝑒，𝑒]，使得f（x0）≤g（x0），求实数a的取值范围．