【新高考复习】考向22 解三角形（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向22解三角形1．（2021·全国高考真题（文））在ABC中，已知120B，19AC，2AB，则BC（）A．1B．2C．5D．3【答案】D【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设,,ABcACbBCa，结合余弦定理：2222cosbacacB可得：21942cos120aa，即：22150aa，解得：3a（5a舍去），故3BC.故选：D.【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．2．（2021·全国高考真题）在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，1ba，2ca.．（1）若2sin3sinCA，求ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1574；（2）存在，且2a.【分析】（1）由正弦定理可得出23ca，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C为钝角，由cos0C结合三角形三边关系可求得整数a的值.【详解】（1）因为2sin3sinCA，则2223caa，则4a，故5b，6c，2221cos28abcCab+-==，所以，C为锐角，则237sin1cos8CC，因此，1137157sin452284ABCSabC△；（2）显然cba，若ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得22222221223cos022121aaaabcaaCabaaaa，解得13a，则03a，由三角形三边关系可得12aaa，可得1a，aZ，故2a.解答三角高考题的策略：(1)发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。(2)寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。(3)合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例。另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解。1、正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin。(其中R为ABC的外接圆的半径)正弦定理的变形公式：①ARasin2，BRbsin2，CRcsin2；②RaA2sin，RbB2sin，RcC2sin；③CBAcbasin:sin:sin::；④CcBbAaCBAcbasinsinsinsinsinsin；2、三角形面积定理：AbcBacCabSABCsin21sin21sin21；rcbaSABC)(2121高底；(其中r为ABC的内切圆的半径)3、余弦定理：Abccbacos2222bcacbA2cos222；Baccabcos2222acbcaB2cos222；Cabbaccos2222abcbaC2cos222；4、设a、b、c是ABC的角A、B、C的对边，则：①若222cba，则90C；②若222cba，则90C；③若222cba，则90C。【知识拓展】1、三角形解的个数的讨论A为锐角A为钝角或直角baAbsinAbasin或baAbasinbaba两解一解无解一解无解2、解三角形处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度(几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度)去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解。(1)三角形中的边角关系①三角形内角和等于180；②三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；③三角形中大边对大角，小边对小角；(2)利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形已知条件应用定理一般方法解的情况一边和两角正弦定理由CBA求第三角，由正弦定理求其它两边一解两边和夹角余弦定理或正弦定理由余弦定理求第三边，由正弦定理求较小边对应的较小角，由CBA求第三角一解三边余弦定理由余弦定理求两角，由CBA求第三角一解两边和其中一边的对角正弦定理或余弦定理①由正弦定理求另一边的对角，由CBA求第三角，利用正弦定理求第三边②由余弦定理列关于第三边的一元二次方程，根据一元二次方程的解求c，然后利用正弦定理或余弦定理求其它元素两解一解或无解(3)利用正、余弦定理判断三角形的形状常用方法是：①化边为角；②化角为边.3、三角形中的三角变换(1)角的变换在ABC中，CBA，则CBAsin)sin(；CBAcos)cos(；CBAtan)tan(；2cos2sinCBA，2sin2cosCBA；(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。面积公式：))()((sin2121cpbpappprCabahSa，其中r为三角形内切圆半径，p为周长之半；(3)在ABC中，熟记并会证明：①A、B、C成等差数列的充分必要条件是60B；②ABC是正三角形的充分必要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列。1．（2021·全国高三其他模拟（文））ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，22cosacbA，若ABC的周长为15，且三边的长成等差数列，则ABC的面积为（）A．214B．154C．2134D．15342．（2021·全国高三其他模拟（理））在ABC中，2AB＝，73AB＝，4BC＝，CD平分ACB交AB于点,D则线段AD的长为（）A．1B．23C．12D．133．（2021·陕西高三其他模拟（理））在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径为r，若coscossinsinACrAC，2,32bac，则ABC的面积S______.4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若22cb，且4A，则a________．1．（2021·全国高三其他模拟）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若213a，6b，3A，则c等于（）A．2B．4C．6D．82．（2021·全国高三其他模拟（文））已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，22213abc，ABC的面积为216c，则A（）A．45°B．60°C．120°D．150°3．（2021·四川高三其他模拟（理））已知,ab是不共线向量，设2OAab，2OBab，3OCabuuurrr，3ODabuuurrr，若△OAB的面积为3，则△OCD的面积为（）A．8B．6C．5D．44．（2021·河南高二其他模拟（理））已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且23coscos3acCBb.若23c，则2ab的最小值为（）A．4B．23C．3D．325．（2021·辽宁高三其他模拟）英国数学家约翰・康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他引以为傲的研究成果之一．定理的内容是：三角形ABC的三条边长分别为a，b，c，分别延长三边两端，使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点121212,,,,,ACBACB仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆．现有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（）A．9B．143C．283D．3236．（2021·全国高三其他模拟（理））（多选题）已知ABC中，角、、ABC的对边分别为,,abc，且满足sin(4)sinbAbcB，则下列判断错误的是（）A．4acb＝B．若2,b＝则1112acC．若2,b＝则顶点B所在曲线的离心率为12D．若7cos8B＝，则ac＝7．（2019·陕西延安市·高考模拟（理））在ABC中，若13c，3a，120C，则b______.8．（2021·四川绵阳中学高三其他模拟（文））已知ABC外接圆的半径为R，且222sinsinsinRACabB＝，若ABC的面积为38abc，则c的值为________．9．（2021·贵州凯里一中高三三模（文））在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cosabC，则B___________.10．（2021·全国高三其他模拟（理））在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,,abcA为锐角，tancos1sin,BCCABC的面积为2，则ABC的周长的最小值为___________.11．（2020·天津高三二模）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tancostansinABAB.（Ⅰ）若8ac，ABC的面积为6，求sinB；（Ⅱ）若2252ba，求sin23B.12．（2021·福建省南安第一中学高三二模）已知ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，3cos2sinsin0cBbBC，D是ABC边AC上一点，2BD．（1）若BDBC，263AB，求AD；（2）若2CDAD，求2ABBC的最大值．1．（2020·全国高考真题（理））在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则cosB=（）A．19B．13C．12D．232．（2014·江西高考真题（文））在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若32ab，则2222sinsinsinBAA的值为（）A．19B．13C．1D．723．（2019·全国高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－14，则bc=A．6B．5C．4D．34．（2021·浙江高考真题）在ABC中，60,2BAB，M是BC的中点，23AM，则AC___________，cosMAC___________.5．（2021·全国高考真题（理））记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，60B，223acac，则b________．6．（2019·全国高考真题（文））ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.7．（2020·江苏高考真题）在△ABC中，43=90ABACBAC，，∠，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若3()2PAmPBmPC（m为常数），则CD的长度是________．8．（2021·天津高考真题）在ABC，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知sin:sin:sin2:1:2ABC，2b．（I）求a的值；（II）求cosC的值；（III）求sin26C的值．9．（2021·江苏高考真题）已知向量223sin,cosaxx，cos,6bx，设函数fxab.（1）求函数fx的最大值;（2）在锐角ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若0,7fBb，3sin2sin0AC，求ABC的面积.10．（2020·海南高考真题）在①3ac，②sin3cA，③3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC，它的内角,,ABC的对边分别为,