【新高考复习】考向24 平面向量的基本定理及坐标表示（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专

考向24平面向量的基本定理及坐标表示1．（2021·全国高考真题（理））已知向量1,3,3,4ab，若()abb，则__________．【答案】35【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为1,33,413,34ab，所以由abb可得，3134340，解得35．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设1122,,,axybxy，121200ababxxyy，注意与平面向量平行的坐标表示区分．2．（2019·江苏高考真题）如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若6ABACAOEC，则ABAC的值是_____.【答案】3.【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.3632AOECADACAEABACACAE223131123233ABACACABABACABACABAC22223211323322ABACABACABACABACABAC，得2213,22ABAC即3,ABAC故3ABAC.【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.1.应用平面向量基本定理的关键点（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．4.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．.1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使1122aee.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=（x2－x1，y2－y1）.3．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），|a|=2211+xy，|a＋b|=221212(+)+(+)xxyy.4．平面向量共线的坐标表示设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b⇔x1y2－x2y1=0.5．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.【知识拓展】向量共线（平行）的坐标表示1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量．2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若11(,)xya，22(,)xyb，则∥ab的充要条件是1221xyxy”解题比较方便．3．三点共线问题．A，B，C三点共线等价于AB与AC共线．4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解.1．（2021·天水市第一中学高一期末）如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且3BFFE，记aBA，bBC，则CF（）A．2133abB．2133abC．1348abD．3548ab2．（2021·广东高三其他模拟）在四边形ABCD中，2AB，单位向量CD与AB平行，P是BC的中点，APDCQ，若在AB､BC､AD､DC中选两个作为基本向量，来表示向量AQ，则AQ___________.3．（2021·全国高三其他模拟（文））已知向量1,3AB，2,1BD，3EFAD，5ADEF，cos,ADEF___________.4．（2021·全国高三其他模拟（理））若向量(2,4)m，(3,2)n，则(2)mmn___________.1．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））在平行四边形ABCD中，60BAD，4AB，2AD，E为DC的中点，则ABAE（）A．9B．12C．18D．222．（2021·全国高三其他模拟（文））已知向量1,2a，3,1b，,2cm，(2)cab，则m的值为（）A．2B．3C．2D．103．（2021·福建三明一中高三其他模拟）已知向量(3,2)a，(1,)bx，且ab与2ab共线，则x=（）A．23B．23C．32D．324．（2021·北京高一其他模拟）已知向量(4,2)a，向量b(,1)x，若//ab，则||b（）A．5B．5C．52D．545．（2021·云南省文山壮族苗族自治州第一中学高一期末）在ABC中，3AEEC，D是BE上的点，若23ADxABAC，则实数x的值为（）A．13B．23C．43D．196．（2021·全国高三其他模拟（文））在ABC中，点M是边AC上的点，满足2CMMA，1BM，6sin24ABC，则2ABBC的最大值为（）A．210B．16105C．6105D．21057．（2021·全国）（多选题）已知向量1,3,,1abx，则下列结论正确的是（）A．0,x，使得abbB．,0x，使得//abbC．0,,,xab小于3D．,0,237xab8．（2021·河北唐山一中高三其他模拟）（多选题）设a是已知的平面向量且0a，向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，关于向量a的分解，下列说法正确的是（）A．给定向量b，总存在向量c，使abc；B．给定向量b和c，总存在实数和，使abc；C．给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc；D．给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使abc.9．（2021·全国高三其他模拟（文））已知向量a+b=(0，5)，2a﹣b=(3，1)，则ab的值为___________.10．（2021·全国高三其他模拟（理））在平行四边形ABCD中，点M为BC边的中点，ACAMBD，则________．11．（2021·宁夏高三其他模拟（理））已知A(1，1)，B(0，1)，C(1，0)，M为线段BC上一点，且CMCB，若MABCMBMC，则实数的取值范围是___________.12．（2021·辽宁高三其他模拟）在边长为2的正三角形ABC中，D是BC的中点，2AEEB，CE交AD于F．①若BFxBCyBA，则xy___________；②BFDE___________．1．（2013·陕西高考真题（文））已知向量1am，，2bm，，若//abrr，则实数m等于（）A．2B．2C．2或2D．02．（2012·广东高考真题（文））若向量AB=（1,2），BC=（3,4），则AC=A．（4,6）B．(-4，-6)C．(-2，-2)D．(2,2)3．（2015·四川高考真题（理））设四边形ABCD为平行四边形，6AB，4AD.若点M，N满足3,2BMMCDNNC，则AMNM（）A．20B．15C．9D．64．（2013·广东高考真题（文））设a是已知的平面向量且0a，关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使abc；②给定向量b和c，总存在实数和，使abc；③给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc；④给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使abc；上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A．1B．2C．3D．45．（2014·福建高考真题（理））在下列向量组中，可以把向量表示出来的是A．B．C．D．6．（2013·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点,AB满足，则点集|,1,,POPOAOBR所表示的区域的面积是A．22B．23C．42D．437．（2016·四川高考真题（文））已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足||1AP，PMMC，则2||BM的最大值是A．B．C．D．8．（2014·上海高考真题（文））已知曲线C：24xy，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得0APAQ，则m的取值范围为.9．（2018·全国高考真题（理））已知向量=1,2a，=2,2b，=1,c．若2+cab，则________．10．（2017·江苏高考真题）在同一个平面内，向量,,OAOBOC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为，且tan7,OB与OC的夹角为45，若,OCmOAnOBmnR，则mn_________．1．【答案】D【分析】取aBA，bBC作为基底，把BE、BF用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出CF.【详解】取aBA，bBC作为基底，则12BEab.因为3BFFE，所以3313344248BFBEabab，所以33354848CFBFBCabbab.故选：D.2．【答案】2ABBCuuuruuur【分析】根据向量的线性运算即可得解.【详解】222AQAPABBPABBCuuuruuuruuuruuruuuruuur；故答案为：2ABBCuuuruuur3．【答案】13【分析】利用向量的坐标运算求出AD，进而求出AD，EF，结合向量的数量积公式即可求解.【详解】2,111,,23ADABBDuuuruuuruuurQ，22125ADuuur又3EFAD，35EFuuur利用向量的数量积公式可知51cos,3355ADEFADEFEFADuuuruuuruuuruuuruuuruuur故答案为：13【点睛】关键点点睛：本题考查向量的线性运算与向量的数量积公式的应用，解题的关键是熟悉公式cos,ababab的应用，考查学生的运算求解能力，属于基础题.4．【答案】48【分析】直接利用平面向量的坐标运算求解.【详解】(2)(2,4)[(2,4)(6,4)](2,4)(8,8)163248mmn.故答案为：481．【答案】B【分析】利用基底向量,ABAD表示出AE，再根据数量积的运算律以及定义即可求出．【详解】因为12AEADDEADAB，所以221142cos604122212ABAEABAADBDBABAA