【新高考复习】第2讲　参数方程

第2讲参数方程1.(2017·合肥调研)在直角坐标系xOy中，曲线C：x＝2cosα＋1，y＝2sinα＋1(α为参数)，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsinθ＋ρcosθ＝m.(1)若m＝0时，判断直线l与曲线C的位置关系；(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为22，求实数m的取值范围.解(1)曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，是一个圆；直线l的直角坐标方程为x＋y＝0，圆心C到直线l的距离为d＝|1＋1|12＋12＝2＝r，所以直线l与圆C相切.(2)由已知可得，圆心C到直线l的距离为d＝|1＋1－m|12＋12≤322，解得－1≤m≤5.所以实数m的取值范围为[－1，5].2.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)，直线l经过点P(1，2)，倾斜角α＝π6.(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值.解(1)由x＝4cosθ，y＝4sinθ，消去θ，得圆C的普通方程为x2＋y2＝16.又直线l过点P(1，2)，且倾斜角α＝π6.所以l的参数方程为x＝1＋tcosπ6，y＝2＋tsinπ6.即x＝1＋32t，y＝2＋12t(t为参数).(2)把直线l的参数方程x＝1＋32t，y＝2＋12t代入x2＋y2＝16，得1＋32t2＋2＋12t2＝16，t2＋(3＋2)t－11＝0，所以t1t2＝－11.由参数方程的几何意义，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝11.3.(2016·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10，求l的斜率.解(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos2α－44.由|AB|＝10得cos2α＝38，tanα＝±153.所以l的斜率为153或－153.4.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为x＝1＋tcosα，y＝tsinα(t为参数，0＜α＜π)，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当α变化时，求|AB|的最小值.解(1)由ρsin2θ＝4cosθ得(ρsinθ)2＝4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4x.(2)将直线l的参数方程代入y2＝4x得到t2sin2α－4tcosα－4＝0.设A，B两点对应的参数分别是t1，t2，则t1＋t2＝4cosαsin2α，t1t2＝－4sin2α.∴|AB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝4sin2α≥4，当α＝π2时取到等号.∴|AB|min＝4，即|AB|的最小值为4.5.(2014·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈0，π2.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标.解(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1).可得C的参数方程为x＝1＋cost，y＝sint(t为参数，0≤t≤π).(2)设D(1＋cost，sint)，由(1)知C是以C(1，0)为圆心，1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线CD与l的斜率相同，tant＝3，t＝π3.故D的直角坐标为1＋cosπ3，sinπ3，即32，32.6.(2017·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsinθ－π4＝2.(1)求C的普通方程和l的倾斜角；(2)设点P(0，2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值.解(1)由x＝3cosα，y＝sinα消去参数α，得x29＋y2＝1，即C的普通方程为x29＋y2＝1.由ρsinθ－π4＝2，得ρsinθ－ρcosθ＝2，(*)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入(*)，化简得y＝x＋2，所以直线l的倾斜角为π4.(2)由(1)知，点P(0，2)在直线l上，可设直线l的参数方程为x＝tcosπ4，y＝2＋tsinπ4(t为参数)，即x＝22t，y＝2＋22t(t为参数)，代入x29＋y2＝1并化简，得5t2＋182t＋27＝0，Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－1825＜0，t1t2＝275＞0，所以t1＜0，t2＜0，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝1825.