数学-2024届新高三开学摸底考试卷（上海专用）（解析版）

2024届新高三开学摸底考试卷（上海）本试卷共21题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、填空题：本题共12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分。1．设集合213,log3AxxBxx，则AB__________.【答案】03xx【详解】由题意，13Axx在2log3Bxx中，解得：08x，∴03ABxx，故答案为：03xx.2．复数21iz，则z__________．【答案】2【详解】21i2iz，22||0(2)2z，故答案为：2．3．61122xxx的展开式中2x的系数是______．【答案】288【详解】63611222121xxxxxx，考虑61221xx展开式中5x的系数.而621x展开式的通项公式为666166C2112C,0,1,2,,6rrrrrrrrTxxr，令65r，则1r，令64r，则2r，故61221xx展开式中5x的系数为：121524661C221C23215326329288，故答案为：288.4．已知平面向量(2,1)a，b为单位向量，且2abab，则向量b在向量a上的投影向量的坐标为______.【答案】63,55【详解】∵(2,1)a，∴22215a，b为单位向量，1b，又∵2abab，∴2222520ababaabbab，即3ab，∴b在a方向上的投影向量为abaaa63,55.故答案为：63,55.5．在一次高二数学联考中，某校数学成绩2~80,XN．已知(6080)0.25PX，则从全校学生中任选一名学生，其数学成绩小于100分的概率为________．【答案】0.75/34【详解】因为2~80,XN，所以(6080)(80100)0.25PXPX，(80)0.5PX，所以(100)0.50.250.75PX.故答案为：0.75.6．函数202320231cos1cosyxx，2π2π,33x的值城为______．【答案】20232,2【详解】2π2π,33x，设12cos1,tx，202320232244202220222023202320231122C2C2Cftttttt，ft为偶函数，不妨取0,1t，函数在0,1上单调递增，故min02ftf，2023max12ftf，故函数值域为20232,2.故答案为：20232,2.7．若函数322fxxxxR是奇函数，则曲线yfx在点,f处的切线方程为______．【答案】24320xy【详解】因为322fxxxxR是奇函数，所以0fxfx对xR恒成立，即3232222220xxxxx对xR恒成立，所以2，则32fxx，故26fxx，所以3222216,26224ff，所以曲线yfx在点216,处的切线方程为16242yx，化简得24320xy.故答案为：24320xy8．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，,AB分别为圆柱上､下底面圆的圆心，P为圆锥的顶点，若底面圆的半径为2，2,2PAAB，则圆柱的外接球的表面积与圆锥的侧面积的比值是______.【答案】32【详解】由圆柱的对称性知，圆柱外接球的球心为AB的中点，则外接球的半径为221(2)3R，所以外接球的表面积为214π12πSR，又圆锥的母线长为22(2)(2)2l，则侧面积为2π22πSrl，所以1232SS.故答案为：329．已知函数()2cos(3)fxx的图象关于点4π,03对称，那么的最小值为________．【答案】π2【详解】2cos3fxx的图象关于点4π,03对称，4ππ3π,32kkZ，即7ππ,2kkZ，令4k，可得的最小值为π2．故答案为：π210．已知曲线1C：2yx与曲线2C：22()4xay恰有两个公共点，则实数a的取值范围为__________.【答案】4,0222【详解】如图：2yx与x轴焦点为2,0A，当点A在圆2C外，则2yx表示的两条射线与圆相切与2C相切时恰有两个公共点，联立22()4xay得222420xaxa，由2242420aa，得222a，因2yx，所以2x，故222a，当点A在圆2C上，如图，此时2yx与22()4xay有3个或1个交点不符合题意，当点A在圆2C内，如图，此时2yx与22()4xay有2个交点符合题意，此时，22(2)04a，得40a-综上a的取值范围为：4,0222.故答案为：4,0222.11．已知等比数列na的首项10a，公比0q，244aa，且212nnnaaa，则na的前2023项和为______.【答案】2【详解】因为212nnnaaa，所以22nnnaqaaq，化为220qq，解得2q=或1q，又因为0q，所以1q，又因为244aa，所以242411(1)4aqa，得到12a或12a，又10a，所以12a，故12(1)nna，所以202320232[1(1)]21(1)S，故答案为：2.12．若函数()fx的图象上存在不同的两点1122,,,MxyNxy，坐标满足关系：222212121122xxyyxyxy，则称函数fx与原点关联．给出下列函数：①()2fxx；②()sinfxx；③1()(0)fxxxx；④()lnfxx．其中与原点关联的所有函数为_____________（填上所有正确答案的序号）．【答案】①②④【详解】设1122(,),(,)AxyBxy，则222212121122,OAOBxxyyOAxyyBxO，由题意可知·0OAOBOAOB，即·OAOBOAOB，即cos,OAOBOAOBOAOB，所以cos,1OAOB，又cos,1OAOB，所以cos,1OAOB，即,OAOB共线，亦即,,AOB三点共线，也即存在过原点的直线与函数的图象有两个不同的交点，称为西数函数与原点关联.对于①，易知函数2yx经过原点，且图象关于原点对称，存在点A、B与点O三点共线，故①是与原点关联的函数；对于②，设过原点的直线为ykx，作出函数sinyx与ykx的图象，如图，所以存在实数k使得直线ykx与函数sinyx图象在R上有3个交点，即存在点A、B与点O三点共线，故②是与原点关联的函数；对于③，设过原点的直线为ykx，作出函数10fxxxx与ykx的图象，如图，所以存在实数k使得直线ykx与函数10fxxxx图象在(0,)上有1个交点，即不存在点A、B与点O三点共线，故③不是与原点关联的函数；对于④，设过原点的直线为ykx，作出函数lnyx与ykx的图象，如图，所以存在实数k使得直线ykx与函数lnyx图象在(0,)上有2个交点，即存在点A、B与点O三点共线，故④是与原点关联的函数；故答案为：①②④.二、选择题：本题共4小题，13、14题每题4分，15、16题每题5分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目13．已知两个平面，，及两条直线l，m．则下列命题错误的是（）A．若，l，m，lm，则lB．若l，//，m，则lmC．若l，m，//m，//l，则//D．若l，m是异面直线，l，//l，m，//m，则//【答案】C【详解】对于A，若，l，m，lm，根据面面垂直的性质定理可得l，A正确；对于B，若l，//，则l，又m，则lm，B正确；对于C，若l，m，//m，//l，则与可以相交或平行，C错误；对于D，因为m，//m，所以存在直线m，//mm，因为l，m是异面直线，所以l与m相交，因为//mm，m，m，所以//m，又因为l，//l，所以//，D正确，故选：C14．函数sinπlneexxyx在区间π,π上的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】sinπlneesinlneexxxxyxx，定义域为π,π，因为()sinlneesinlnee()xxxxfxxxfx，所以fx为奇函数，所以fx图象关于原点对称，所以排除B、D；因为2222ππsinlneelnee22f，且22ee,e0，所以22πlneelne012f，所以排除C；故选：A．15．下列说法不正确的是（）A．甲、乙、丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18B．设一组样本数据1x，2x，…，nx的方差为2，则数据14x，24x，.…，4nx的方差为32C．在一个22列联表中，计算得到2的值，则2的值越接近1，可以判断两个变量相关的把握性越大D．已知随机变量2~(2,)N，且(4)0.8P，则(04)0.6P【答案】C【详解】对于A：设样本容量为n，则936n，故18n，故A正确.对于B：设样本数据1x，2x，…，nx的均值为x，则数据14x，24x，.…，4nx的均值为11444nniiiixxxnn，故数据14x，24x，.…，4nx的方差为：2221111161441616232nnniiiiiixxxxxxnnn，故B正确.对于C：2越大，可以判断两个变量相关的把握性越大，越小则把握性越小，故C错误.对于D：由正态分布的对称性可得：(04)2(24)2(4)0.50.6PPP，故D正确.故选：C.16．在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：111121231CCCCCnn､类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少1个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为（）A．320232C2B．320242C2C．42024C2D．42023C2