数学-2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考通用）01（考试版）

2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考专用）01数学本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集UR，集合2|430Axxx，2{|log}Bxxa，且满足|12ABxx，则UABð（）A．0,3B．,03,C．1,3D．,13,2．已知复数z满足2i1iz（i为虚数单位），z是z的共轭复数，则4zz（）A．5B．5C．10D．103．已知复数z在复平面内对应的点为M，iz在复平面内对应的点为N，i是虚数单位，则“点M在第一象限”是“点N在第四象限”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40cm的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（）A．223B．23C．255D．255．若数列{}na的首项114a，且满足111nnaa，则2022a（）A．14B．5C．45D．546．函数222cos()4xxxfxx的部分图象为（）A．B．C．D．7．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若,,3BCaBAbBEEF，则AE（）A．12162525abB．16122525abC．1292525abD．9122525ab8．设fx是定义在R上的周期为3的函数，当[0,2)x时，23,012,12xxxfxxx，则5()2f（）A．﹣1B．1C．12D．14二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．某省2021年美术联考约有5000名学生参加，现从考试的科目素描(满分100分)中随机抽取了500名考生的考试成绩，记录他们的分数后，将数据分成7组：20303040，，，，，8090，，并整理得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法不正确的是（）A．由频率分布直方图可知，全省考生的该项科目分数均不高于90分B．用样本估计总体，全省该项科目分数小于70分的考生约为2000人C．若样本中分数小于40的考生有30人，则可估计总体中分数在区间4050，内约200人D．用样本估计总体，全省考生该项科目分数的中位数为75分10．已知函数πsin0,0,02fxAxA的图象过点0,2AM和π,0N，fx的最小正周期为T，则（）A．T可能取12π7B．fx在0,4π上至少有3个零点C．直线8π11x可能是曲线yfx的一个对称轴D．若函数fx的图象在0,2π上的最高点和最低点共有4个，则11611．如图所示，有一个棱长为4的正四面体PABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（）A．若E是CD的中点，则直线AE与PB所成角为π2B．ABE的周长最小值为434C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为63D．如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为6212．下列命题中正确的是（）A．0,x，23xxB．0,1x，23loglogxxC．0,x，131log2xxD．10,3x，131log2xx第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在52231xxx的展开式中x的系数为______．14．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有____种．（用数字作答）15．已知抛物线C：22ypx（p0）的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，与抛物线C的准线交于点E，若2ABEF，则p＝________.16．设*1212,,,,0,1,1,2,,N,2,,,,nninnSaaaaaainnnaaaaS∣，定义a的差分运算为213211,,,nnnDaaaaaaaS.用mDa表示对a进行*N,mmmn次差分运算，显然，mDa是一个nm维数组.称满足0,0,,0mDa的最小正整数m的值为a的深度.若这样的正整数m不存在，则称a的深度为n.（1）已知80,1,1,1,0,1,1,1aS，则a的深度为__________.（2）nS中深度为*N,dddn的数组个数为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程成演算步骤17．设数列na满足1=2a，21132nnnaa.求na的通项公式.18．已知锐角ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量(sin,cos)mCC，(2sincos,sin)nABB，且mn．(1)求角C的值；(2)若2a，求ABC周长的取值范围．19．如图，在圆锥PO中，已知PO底面O，2PO，O的直径2AB，C是AB的中点，D为AC的中点.(1)证明：平面POD平面PAC；(2)求三棱锥DPBC的体积；(3)求二面角BPAC的余弦值.20．已知椭圆22221(0)xyabab上一点与它的左、右两个焦点1F，2F的距离之和为22，且它的离心率与双曲线222xy的离心率互为倒数．(1)求椭圆的方程；(2)如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），1AF的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C．①当直线AB的斜率存在时，求证：直线AB与BC的斜率之积为定值；②求△ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程．21．已知函数3213fxxaxbxab.(1)若fx是奇函数，且有3个零点，求b的取值范围；(2)若fx在1x处有极大值223，求当13,x时fx的值域.22．已知函数cos1exfxx，21eRxgxaxxa．(1)当0,πx时，求函数fx的最小值；(2)当π,2x时，不等式exgxxfx恒成立，求实数a的取值范围．