数学-2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考通用）01（解析版）

2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考专用）01数学本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集UR，集合2|430Axxx，2{|log}Bxxa，且满足|12ABxx，则UABð（）A．0,3B．,03,C．1,3D．,13,【答案】B【分析】首先求出集合A，B中的不等式，再根据|12ABxx得出集合B，根据集合并集和补集的定义计算即可．【详解】由题可知(1,3)A，{|02}aBxx，因为|12ABxx，所以22a，即{|02}Bxx，所以(0,3)AB，所以(0][3,)UAB，ð，故选：B．2．已知复数z满足2i1iz（i为虚数单位），z是z的共轭复数，则4zz（）A．5B．5C．10D．10【答案】C【分析】先根据复数的除法求出z，再计算4zz.【详解】由2i1iz得2i1i2i13i13i1i1i1i222z，所以13i22z，所以413i13i10zz.故选：C.3．已知复数z在复平面内对应的点为M，iz在复平面内对应的点为N，i是虚数单位，则“点M在第一象限”是“点N在第四象限”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】设复数izab，复数z在复平面内对应的点为M,ab在第一象限，求出,ab的范围，iz在复平面内对应的点为N,ba在第四象限，求出,ab的范围，再结合充分条件必要条件的定义即可求出答案.【详解】设复数izab，复数z在复平面内对应的点为M,ab在第一象限，则0,0ab，2iiiiiii1iabzababba，iz在复平面内对应的点为N,ba在第四象限，则0,0ba.反之，也成立，“点M在第一象限”是“点N在第四象限”的充要条件.故选：C..4．木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40cm的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（）A．223B．23C．255D．25【答案】A【分析】根据正四棱台的外接球的性质可得两底面的边长，进而根据直角三角形的边角关系，结合二面角的定义即可求解.【详解】如图：正四棱台，由题意可知：O是底面正方形的中心也是球O的球心，且50,40ROBOO,所以502,BC2222504030OBROO,进而可得302,BC取BC的中点为N，过BC的中点P作PMON，连接PN,所以11522OMOPBA,12522ONBA,故102MNONOM,在直角三角形PMN中，40tan22,102PMPNMMN故22sin3PNM，由于,PNBCONBC,所以PNM即为正四棱台的侧面与底面所成二面角，故正弦值为223，故选：A5．若数列{}na的首项114a，且满足111nnaa，则2022a（）A．14B．5C．45D．54【答案】C【分析】根据递推公式，结合代入法可以求出数列的周期，利用数列的周期性进行求解即可.【详解】因为114a，111nnaa，所以2341141115,1,11455445aaa，所以该数列的周期为3，于是有20226743345aaa，故选：C6．函数222cos()4xxxfxx的部分图象为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】确定函数为奇函数，排除BD，当π0,2x时，()0fx，排除A，得到答案.【详解】fx的定义域为2xx，2222cos22cos()44xxxxxxfxfxxx，故()fx为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D；又π0,2x时，220xx，cos0x，240x，故()0fx，排除A．故选：C．7．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若,,3BCaBAbBEEF，则AE（）A．12162525abB．16122525abC．1292525abD．9122525ab【答案】A【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答.【详解】依题意，3339()44416AEBEBABFBABCCFBABCAEBA，于是25331644AEBCBAab，所以12162525AEab.故选：A8．设fx是定义在R上的周期为3的函数，当[0,2)x时，23,012,12xxxfxxx，则5()2f（）A．﹣1B．1C．12D．14【答案】D【分析】根据题意，化简得到551()(3)()222fff，代入即可求解.【详解】因为fx是定义在R上的周期为3的函数，当[0,2)x时，23,012,12xxxfxxx，则2551111()(3)()3()222224fff.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．某省2021年美术联考约有5000名学生参加，现从考试的科目素描(满分100分)中随机抽取了500名考生的考试成绩，记录他们的分数后，将数据分成7组：20303040，，，，，8090，，并整理得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法不正确的是（）A．由频率分布直方图可知，全省考生的该项科目分数均不高于90分B．用样本估计总体，全省该项科目分数小于70分的考生约为2000人C．若样本中分数小于40的考生有30人，则可估计总体中分数在区间4050，内约200人D．用样本估计总体，全省考生该项科目分数的中位数为75分【答案】AD【分析】由样本和总体的关系判断选项A；利用样本频率计算总体中的频数判断选项BC；利用频率分布直方图中位数的算法计算中位数判断选项D.【详解】由题意可知，在500个样本中，该项科目分数是均不高于90分，样本可以用来估计总体，但不能代替总体，在其余4500名考生中，该项科目分数中可能有高于90分的，故选项A不正确；在样本中，分数不低于70分的频率为0.040.02100.6，则样本中分数小于70分的频率为10.60.4，若用样本估计总体，则全省该项科目分数小于70分的考生约为50000.42000人，故选项B正确；在样本中，成绩低于50分的频率为10.0420.020.01100.1，当分数小于40的考生有30人时，其频率为300.06500，则分数在区间4050，内的频率为0.04，用样本估计总体，则全省考生中分数在区间4050，内约50000.04200人，故选项C正确；用样本估计总体，通过频率分布直方图可知中位数即为将左右两边矩形面积等分所在位置，则该位置在区间7080，内，且等于1701072.54分，故选项D不正确．故选：AD．10．已知函数πsin0,0,02fxAxA的图象过点0,2AM和π,0N，fx的最小正周期为T，则（）A．T可能取12π7B．fx在0,4π上至少有3个零点C．直线8π11x可能是曲线yfx的一个对称轴D．若函数fx的图象在0,2π上的最高点和最低点共有4个，则116【答案】BCD【分析】根据题意可知，0sin2AfA，πsinπ0fA，即可求出,，从而根据函数的性质即可判断各选项的真假．【详解】由图可知，0sin2AfA，即1sin2，而π02，所以π6，又πsinπ0fA，所以πππ6k，即106k，Zk，所以πsin6fxAx．对A，若12π2π7T，则，76，显然1766k，无整数解，错误；对B，由0,4πx可得，πππ,4π666x，因为1566k，所以π5π74π4ππ6662，故ππ,2π,3π6x有解，即fx在0,4π上至少有3个零点，正确；对C，若直线8π11x可能是曲线yfx的一个对称轴，则8ππππ1162t，即11183t，Zt，又16k，Zk，所以，1,2tk，116符合，正确；对D，因为0,2πx，所以πππ,2π666x，若函数fx的图象在0,2π上的最高点和最低点共有4个，则，792226ππππ，解得：53136，而106k，Zk，所以，当2k时，116符合，正确．故选：BCD．11．如图所示，有一个棱长为4的正四面体PABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（）A．若E是CD的中点，则直线AE与PB所成角为π2B．ABE的周长最小值为434C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为63D．如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为62【答案】ACD【分析】A选项：连接AD.证明出PBAE，即可求出直线AE与PB所成角为π2；B选项，把ACD沿着CD展开与面BDC同一个平面内，利用余弦定理求出34AB，即可判断；C选项，判断出小球是正四面体的内切球，设半径为r.利用等体积法求解；D选项，判断出要使小球半径要最大，则外层小球与四个面相切，设小球半径为r，利用几何关系求出62r.【详解】A选项：连接AD.在正四面体PABC中，D是PB的中点，所以,PBADPBCD.因为AD平面ACD，CD平面ACD，ADCDD,所以直线PB平面ACD.因为AE平面ACD.所以PBAE，所以直线AE与PB所成角为π2.故A选项正确；B选项，把ACD沿着CD展开与面BDC同一个平面内，由23ADCD，4AC，1cos3ADC22coscossin23ADBADCADC所以222221662232223163433AB，所以34AB，所以ABE的周长最小值为434不正确.故B选项错误；C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设半径为r.由等体积法可得：1133PABCABCVShSr表，所以半径16644123rh.故C选项正确；D选项，10个小球分三层（1个，3个，6个）放进去，要使小球半径要最大，则外层小球与四个面相切，设小球