2019届北京市人大附中高三高考信息卷(二)理科数学试卷(word版)

1页北京市人大附中2019届高考信息卷(二)理科数学试题一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.若集合,,则下列结论中正确的是A.B.C.D.【答案】C2.设曲线是双曲线,则“的方程为”是“的渐近线方程为”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A3.设下列函数的定义域为,则值域为的函数是A.B.C.D.【答案】D4.若满足条件的整点恰有12个,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则整数的值为A.B.C.D.【答案】C5.若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足,则称成一个“等差数列”.已知集合,则由中的三个元素组成的所有数列中,“等差数列”的个数为A.B.C.D.【答案】B6.若复数,当时,则复数在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C7.某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有2页第一节第二节第三节第四节地理B层2班化学A层3班地理A层1班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班A.8种B.10种C.12种D.14种【答案】B8.已知函数的一条对称轴为，，且函数在上具有单调性，则的最小值为A.B.C.D.【答案】A二、填空题、共6小题，每小题5分，共30分。9.能够说明“恒成立”是假命题的一个的值为______.【答案】010.若平面向量,,且,则实数的值为______.【答案】11.甲乙两地相距km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不能超过km/h.已知汽车每．小时运输成本为元,则全程运输成本与速度的函数关系是______,当汽车的行驶速度为______km/h时,全程运输成本最小.【答案】(1).(2).10012.在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,他们的终边关于轴对称,若,则______.【答案】3页13.已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的底面和三个侧面中,直角三角形的个数是______.【答案】14.如图,在矩形中,,,为边的中点.将三角形ADE沿翻折,得到四棱锥.设线段的中点为,在翻折过程中,有下列三个命题:①总有平面;②三棱锥体积的最大值为;③存在某个位置,使与所成的角为.其中正确的命题是______.（写出所有．．正确命题的序号）【答案】①②三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.在中，角的对边分别为，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）在中，，求出正弦函数值，利用正弦定理转化求解即可．（Ⅱ）由余弦定理得，然后求解三角形的面积．【详解】（Ⅰ）在中，，4页∴，∵，由正弦定理得，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，∴，解得或（舍）∴．【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查三角形的解法，考查计算能力．16.在无穷数列中，是给定的正整数，，．（Ⅰ）若，写出的值；（Ⅱ）证明：数列中存在值为的项；（Ⅲ）证明：若互质，则数列中必有无穷多项为．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（I）根据以及的值，由此求得的值，找出规律，求得的值.（II）利用反证法，先假设，利用递推关系找出规律，推出矛盾，由此证明原命题成立.（III）首先利用反证法证明数列中必有“1”项，其次证明数列中必有无穷多项为“1”,由此证得原命题成立.【详解】解：(I)由，以及，可知，，，从开始，规律为两个和一个，周期为，重复出现，故.(II)反证法：假设,由于，记.则.则，,，，，5页依次递推，有，…，则当时，与矛盾.故存在，使所以，数列必在有限项后出现值为的项．(III)首先证明：数列中必有“1”项．用反证法，假设数列中没有“1”项，由(II)知，数列中必有“0”项，设第一个“0”项是，令，，则必有，于是，由，则，因此是的因数，由，则或，因此是的因数.依次递推，可得是的因数，因为，所以这与互质矛盾．所以，数列中必有“1”项．其次证明数列中必有无穷多项为“1”.假设数列中的第一个“1”项是，令，，则，若，则数列中的项从开始，依次为“1，1，0”的无限循环，故有无穷多项为1；若，则，若，则进入“1，1，0”的无限循环，有无穷多项为1；若，则从开始的项依次为，必出现连续两个“1”项，从而进入“1，1，0”的无限循环，故必有无穷多项为1．【点睛】本小题主要考查递推数列，考查合情推理，考查与数列有关的证明，考查分析问题与解决问题的能力，综合性很强，属于难题.17.某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除颜色外均相同．（Ⅰ）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（Ⅱ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记得到红球的次数为，求的分布列；（Ⅲ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取100次，得到几次红球的概率最大？只需写出结论．6页【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析（Ⅲ）75【解析】【分析】(Ⅰ)直接利用公式求得结果即可；（Ⅱ）由题摸一次是红球的概率为又是有放回的摸出小球，所以满足二项分布，可得结果；（Ⅲ）因为随机摸一次摸到红球的概率为，由此摸100次，得到75次概率最大.【详解】解：(Ⅰ)设“一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球”为事件A．则．(Ⅱ)可能取0，1，2，3，4．，，，，．所以的分布列为01234P（Ⅲ）75．【点睛】本题考查了离散随机变量分布列，熟悉二项分布是解题的关键，属于中档题.18.设函数，其中．（Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值；（Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）极小值，极大值；（Ⅱ）或【解析】【分析】（Ⅰ）根据偶函数定义列方程，解得.再求导数，根据导函数零点列表分析导函数符号变化规律，即7页得极值，（Ⅱ）先分离变量，转化研究函数，，利用导数研究单调性与图象，最后根据图象确定满足条件的的取值范围．【详解】（Ⅰ）由函数是偶函数，得，即对于任意实数都成立，所以.此时，则.由，解得.当x变化时，与的变化情况如下表所示：00↘极小值↗极大值↘所以在，上单调递减，在上单调递增.所以有极小值，有极大值.（Ⅱ）由，得.所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”.对函数求导，得.由，解得，.当x变化时，与的变化情况如下表所示：00↘极小值↗极大值↘所以在，上单调递减，在上单调递增.8页又因为，，，，所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点.即当或时，函数在区间上有两个零点.【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.19.如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点．（Ⅰ）求证：∥平面(Ⅱ)求证：平面平面;(Ⅲ)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为300?如果存在，求出线段的长；如果不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1.【解析】【分析】(1)方法一：取中点为,连结,，要证平面，即证：,；方法二：以为原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，又因为,即可得证.(2)方法一：要证平面平面，转证平面即证；方法二：分别求出两个平面的法向量即可得证.(3)建立空间直角坐标系，利用坐标法即可得到结果.【详解】方法一：(1)取中点为,连结,由且,又点为中点，所以,9页又因为分别为,中点,所以,所以,所以共面于平面,因为,分别为中点,所以,平面,平面,所以平面.方法二：在直三棱柱中，平面又因为,以为原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，由题意得,.所以,,设平面的法向量为，则，即,令，得,于是,又因为,所以,又因为平面，所以平面.（2）方法一：在直棱柱中，平面,因为，所以,又因为，且,所以平面,10页平面，所以,又，四边形为正方形,所以,又，所以,又，且,所以平面,又平面,所以平面平面.方法二：设平面的法向量为，,，即,令，得,于是,,即，所以平面平面.（3）设直线与平面所成角为，则,设，则,,所以,解得或（舍）,所以点存在，即的中点，.【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20.已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点．11页（Ⅰ）求椭圆的离心率及左焦点的坐标；（Ⅱ）求证：直线与椭圆相切；（Ⅲ）判断是否为定值，并说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，，据此确定离心率即可；（2）由题意可得.分类讨论和两种情况证明直线与椭圆相切即可；（3）设，，当时，易得．当时，联立直线方程与椭圆方程可得，结合韦达定理和平面向量的数量积运算法则计算可得．据此即可证得为定值．【详解】（1）由题意，，所以离心率，左焦点．（2）由题知，，即.当时直线方程为或，直线与椭圆相切．当时，由得，即所以故直线与椭圆相切．（3）设，，当时，，，，，所以，即．当时，由得，则，，12页．因为．所以，即．故为定值．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．13页