专题2 培优点5　平面向量“奔驰定理” (66)

培优点5平面向量“奔驰定理”平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角、数列、几何等知识相结合考查．平面向量的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用．考点一平面向量“奔驰定理”定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·PA→＋S△PAC·PB→＋S△PAB·PC→＝0．例1已知O是△ABC内部一点，满足OA→＋2OB→＋mOC→＝0，且S△AOBS△ABC＝47，则实数m等于()A．2B．3C．4D．5易错提醒利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数不是三角形的面积，而是面积之比．跟踪演练1设点O在△ABC内部，且AO→＝13AB→＋14AC→，则S△OABS△OBC＝________.考点二“奔驰定理”和三角形的“四心”(四心在三角形内部)(1)O是△ABC的重心⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶1∶1⇔OA→＋OB→＋OC→＝0．(2)O是△ABC的内心⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝a∶b∶c⇔aOA→＋bOB→＋cOC→＝0．(3)O是△ABC的外心⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝sin2A∶sin2B∶sin2C⇔sin2A·OA→＋sin2B·OB→＋sin2C·OC→＝0．(4)O是△ABC的垂心⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝tanA∶tanB∶tanC⇔tanA·OA→＋tanB·OB→＋tanC·OC→＝0．考向1“奔驰定理”与重心例2已知在△ABC中，G是重心，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且56aGA→＋40bGB→＋35cGC→＝0，则B＝________.考向2“奔驰定理”与外心例3已知点P是△ABC的外心，且PA→＋PB→＋λPC→＝0，C＝2π3，则λ＝________.考向3“奔驰定理”与内心例4在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，O为△ABC的内心，若AO→＝λAB→＋μBC→，则3λ＋6μ的值为()A．1B．2C．3D．4考向4“奔驰定理”与垂心例5已知H是△ABC的垂心，若HA→＋2HB→＋3HC→＝0，则A＝________.规律方法涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件．跟踪演练2(1)设I为△ABC的内心，且2IA→＋3IB→＋7IC→＝0，则角C＝________.(2)设点P在△ABC内部且为△ABC的外心，∠BAC＝π6，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为12，x，y，则x＋y的最大值是______．