专题2 第1讲　三角函数的图象与性质 (70)

第1讲三角函数的图象与性质[考情分析]1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下．考点一三角函数的运算核心提炼1．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanαα≠kπ＋π2，k∈Z.2．诱导公式：在kπ2＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1(1)(2022·菏泽检测)已知角α的终边经过点(－1,2)，则cos2α等于()A．－45B．－35C．－15D.35(2)已知sin－π2－αcos－7π2＋α＝1225，且0απ4，则sinα＝________，cosα＝________.二级结论(1)若α∈0，π2，则sinααtanα.(2)由(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα知，sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα知一可求二．跟踪演练1(1)(2022·山西联考)若sin10°＝asin100°，则sin20°等于()A.aa2＋1B．－aa2＋1C.2aa2＋1D．－2aa2＋1(2)已知2cosα＋3π2＝cos(α－π)，则sin2α＋cos2α＝________.考点二三角函数的图象与解析式核心提炼由函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)图象的步骤例2(1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y＝sinx－π4的图象，则f(x)等于()A．sinx2－7π12B．sinx2＋π12C．sin2x－7π12D．sin2x＋π12(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0)的部分图象如图所示，则f(x)＝______.(填序号)①2sin2x＋2π3；②2sin2x－5π3；③2cos2x－π6；④2cosx－7π6.规律方法由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0)中参数的值(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝M＋m2，A＝M－m2.(2)T定ω：由周期的求解公式T＝2πω，可得ω＝2πT.(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势．跟踪演练2(1)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sinωx＋π3(ω＞0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是()A.16B.14C.13D.12(2)(2022·黄山模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，－πφ0)的部分图象如图所示，为了得到y＝f(x)的图象，需将函数g(x)＝Acosωx的图象至少向右平移()A.π3个单位长度B.π4个单位长度C.π6个单位长度D.2π3个单位长度考点三三角函数的性质核心提炼函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的性质(1)单调性：由－π2＋2kπ≤ωx＋φ≤π2＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间，由π2＋2kπ≤ωx＋φ≤3π2＋2kπ(k∈Z)可得单调递减区间．(2)对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)可得对称轴．(3)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋π2(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．例3(1)(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f(x)＝sinωx＋π4＋b(ω0)的最小正周期为T.若2π3Tπ，且y＝f(x)的图象关于点3π2，2中心对称，则fπ2等于()A．1B.32C.52D．3(2)(2022·赣州模拟)已知函数f(x)＝sinωx＋π4(ω0)相邻两条对称轴之间的距离为2π，若f(x)在(－m，m)上单调递增，则m的取值范围是()A.0，π4B.0，π2C.0，3π4D.0，3π2规律方法研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后结合正弦函数y＝sinx的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y＝sinx的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝sint的性质判断各选项．跟踪演练3(1)(2022·桂林模拟)已知函数f(x)＝cosx()sinx－3cosx，则()A．f(x)的周期为2πB．f(x)在区间－π6，π6上单调C．f(x)的图象关于直线x＝－π12对称D．f(x)的图象关于点π6，0对称(2)(2022·广州联考)若函数y＝tanωx＋π4在－π3，π3上单调递减，且在－π3，π3上的最大值为3，则ω＝________.