第01讲 三角函数的图像与性质（讲）（原卷版）

第01讲三角函数的图像与性质本讲为高考命题热点，分值17-22分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，三角函数的图像与性质，三角恒等变换常考察选择题，填空题，解三角形常考察解答题，考察逻辑推理能力，运算求解能力.考点一正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R，且x≠kπ＋π2}值域[－1，1][－1，1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2kπ－π2，2kπ＋π2[2kπ－π，2kπ]kπ－π2，kπ＋π2递减区间2kπ＋π2，2kπ＋3π2[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)kπ＋π2，0kπ2，0对称轴方程x＝kπ＋π2x＝kπ无1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式.3.对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内为增函数.考点二函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ1.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径2.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.3.由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω0，φ0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.高频考点一三角函数的值域和定义域【例1】1.函数y＝sinx－cosx的定义域为________.【例2】函数y＝sinx－cosx＋π6的值域为________.【方法技巧】1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数线或三角函数的图象.2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值).(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值.【变式训练】1.当x∈π6，7π6时，函数y＝3－sinx－2cos2x的值域为________.2.函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________.高频考点二三角函数的周期性、奇偶性、对称性【例3】(1)(2021·郑州调研)在函数①y＝cos|x|，②y＝|cosx|，③y＝cos2x＋π6，④y＝tan2x－π4中，最小正周期为π的函数有()A.①③B.①④C.②④D.②③(2)已知函数f(x)＝sinωx＋π4(ω0)的图象在0，π4内有且仅有一条对称轴，则实数ω的取值范围是()A.(0，5)B.(0，5]C.[1，5)D.(1，5](3)(2021·抚顺调研)已知函数f(x)＝2sin(x＋θ＋π3)θ∈－π2，π2是偶函数，则θ的值为________.(4)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)的最小正周期为4π，且∀x∈R有f(x)≤fπ3成立，则f(x)图象的对称中心是________，对称轴方程是________.【方法技巧】1.求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)的形式，再分别应用公式T＝2π|ω|或T＝π|ω|求解.2.三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y＝Asin(ωx＋φ)代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋kπ(k∈Z).3.对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.【变式训练】1.已知函数f(x)＝asinx＋cosx(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝π6对称，则函数g(x)＝sinx＋acosx的图象()A.关于点π3，0对称B.关于点2π3，0对称C.关于直线x＝π3对称D.关于直线x＝π6对称【答案】D【解析】由题意知f(0)＝fπ3，所以1＝32a＋12，a＝33，所以g(x)＝sinx＋33cosx＝233sinx＋π6，当x＝π3时，x＋π6＝π2，所以直线x＝π3为对称轴，点π3，0不为对称中心，A错误，C正确；当x＝2π3时，x＋π6＝5π6，所以点2π3，0不为对称中心，B错误；当x＝π6时，x＋π6＝π3，所以直线x＝π6不为对称轴，D错误，故选C.2.函数f(x)＝|tanx|的最小正周期是______.高频考点三三角函数的单调性【例4】(1)函数f(x)＝cosx＋π6(x∈[0，π])的单调递增区间为()A.0，5π6B.0，2π3C.5π6，πD.2π3，π(2)已知函数f(x)＝2sinπ4－2x，则函数f(x)的单调递减区间为()A.3π8＋2kπ，7π8＋2kπ(k∈Z)B.－π8＋2kπ，3π8＋2kπ(k∈Z)C.3π8＋kπ，7π8＋kπ(k∈Z)D.－π8＋kπ，3π8＋kπ(k∈Z)【例5】已知函数f(x)＝2cosx＋π6，设a＝fπ7，b＝fπ6，c＝fπ4，则a，b，c的大小关系是()A.abcB.acbC.cabD.bac已知ω0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________.【方法技巧】1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【变式训练】1.(2022·银川模拟)已知函数f(x)＝cos2x－π3－2sinx＋π4cosx＋π4(x∈R)，现给出下列四个结论，其中正确的是()A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)的最大值为2C.函数f(x)在－π4，π4上单调递增D.将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度，所得图象对应的函数解析式为g(x)＝sin2x2.若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D.π高频考点四函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换【例6】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，－π2φπ2)的最小正周期是π，且当x＝π6时，f(x)取得最大值2.(1)求f(x)的解析式；(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到？【方法技巧】作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.【变式训练】本例已知条件不变，第(3)问改为：由函数f(x)图象经过如何变换得到y＝sinx的图象？【迁移2】本例已知条件不变，第(3)问改为：函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cosx的图象经过怎样的变换得到？高频考点五由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式【例7】(1)函数f(x)＝2sin()ωx＋φ(ω0，－π2φπ2)的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.第(2)图(2)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)的部分图象如图所示，已知A5π12，1，B11π12，－1，则f(x)图象的对称中心为()第(2)图A.kπ2＋5π6，0(k∈Z)B.kπ＋5π6，0(k∈Z)C.kπ2＋π6，0(k∈Z)D.kπ＋π6，0(k∈Z)【方法技巧】y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.【变式训练】1.某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(|φ|π)，则这段曲线的函数解析式可以为()A.y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6，14]B.y＝10sinπ8x＋5π4＋20，x∈[6，14]C.y＝10sinπ8x－3π4＋20，x∈[6，14]D.y＝10sinπ8x＋5π8＋20，x∈[6，14]2.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，|φ|π2，ω0)的图象的一部分图如图所示，则f(x)取最小值时x的取值集合为________.高频考点六三角函数图像性质的综合应用【例8】(1)(2022·石家庄模拟)已知函数f(x)＝－cos2x－3sin2x，将f(x)的图象上所有点沿x轴平移θ(θ0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，且函数g(x)为偶函数，当θ最小时，函数h(x)＝2cos(πx－θ)的单调递减区间为________.(2)已知关于x的方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0在π2，π上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________.【方法技巧】1.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.3.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.【变式训练】1.为使函数y＝sinωx(ω0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为()A.98πB.1972πC.1992πD.100π【答案】B【解析】由题意，至少出现50次最大值即至少需要4914个周期，所以1974T＝1974·2πω≤1，所以ω≥1972π.2.若函数f(x)＝sinωx＋π6(ω0)满足f(0)＝fπ3，且函数在0