第03讲 等比数列及前n项和（讲）（解析版）

第03讲等比数列及其n项和本讲为高考命题热点，分值12-17分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，选择填空题常考等差等比数列的性质，大题题型多变，但对于文科来讲常考察基本量的计算与数列求和，对于理科考点相对难度较大，比如新定义，奇偶列等，考察逻辑推理能力与运算求解能力.考点一等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：anan－1＝q(n≥2，q为非零常数).(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.那么Ga＝bG，即G2＝ab.考点二等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q.考点三等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.考点四常用结论1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a2n}，1an，{an·bn}，anbn也是等比数列.2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.4.三个数成等比数列，通常设为xq，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为xq3，xq，xq，xq3.高频考点一等比数列基本量的运算【例1】(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝()A.16B.8C.4D.2【答案】C【解析】设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4.因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2.又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.【方法技巧】1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q.【变式训练】1.(2020·新高考海南卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1.【解析】(1)设{an}的公比为q(q1)，且a2＋a4＝20，a3＝8.∴a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8消去a1，得q＋1q＝52，则q＝2，或q＝12(舍).因此q＝2，a1＝2，所以{an}的通项公式an＝2n.(2)易知(－1)n－1anan＋1＝(－1)n－1·22n＋1，则数列{(－1)n－122n＋1}公比为－4.故a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1·anan＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n－1·22n＋1＝23[1－（－4）n]1＋4＝85[1－(－4)n]＝85－(－1)n·22n＋35.高频考点二等比数列的判定与证明【例3】Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q0.(1)求an及Sn；(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)易知q≠1，由题意可得a1q3＝9a1q，a1（1－q3）1－q＝13，q0，解得a1＝1，q＝3，∴an＝3n－1，Sn＝1－3n1－3＝3n－12.(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列，∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12，此时Sn＋12＝12×3n，则Sn＋1＋12Sn＋12＝12×3n＋112×3n＝3，故存在常数λ＝12，使得数列{Sn＋12}是以32为首项，3为公比的等比数列.【方法技巧】1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.【变式训练】(2021·石家庄质量评估)已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝12n.(1)证明：数列{a2n－1}和数列{a2n}都是等比数列；(2)若数列{an}的前2n项和为T2n，bn＝(3－T2n)n(n＋1)，求数列{bn}的最大项.【解析】(1)证明由anan＋1＝12n，得an＋1an＋2＝12n＋1.两式相除，得an＋2an＝12因为a1＝1，a1·a2＝121，所以a2＝12，所以{a2n－1}是以a1＝1为首项，12为公比的等比数列，{a2n}是以a2＝12为首项，12为公比的等比数列.(2)解因为T2n＝1－12n1－12＋121－12n1－12＝3－32n，所以bn＝(3－T2n)n(n＋1)＝3n（n＋1）2n.则bn＋1bn＝3（n＋1）（n＋2）2n＋1·2n3n（n＋1）＝n＋22n.当n2时，n＋22n1，即b2b1＝3；当n＝2时，n＋22n＝1，即b2＝b3＝92；当n2时，n＋22n1，即bn＋1bn.故数列{bn}的最大项是b2或b3，为92.高频考点三等比数列的性质及应用【例4】(2021·长郡中学检测)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为()A.25B.20C.15D.10答案B解析在正项等比数列{an}中，Sn0，因为S8－2S4＝5，则S8－S4＝5＋S4，易知S4，S8－S4，S12－S8是等比数列，所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，所以S12－S8＝（S4＋5）2S4＝25S4＋S4＋10≥225S4·S4＋10＝20(当且仅当S4＝5时取等号)因为a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，所以a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.【方法技巧】1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.2.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.【变式训练】1.(2022·西安调研)已知数列{an}为各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，若a1a7＝4，且a4＋2a7＝52，则S5＝()A.32B.31C.30D.29【答案】B【解析】由a1a7＝a24＝4，且an0，得a4＝2，又a4＋2a7＝52，所以a4(1＋2q3)＝52，解得q＝12，从而a1＝16.故S5＝161－1251－12＝31.2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝3，则S9S6＝________.【答案】73【解析】法一由等比数列的性质知，S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，由已知得S6＝3S3，所以S6－S3S3＝S9－S6S6－S3，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，所以S9S6＝73.法二因为{an}为等比数列，由S6S3＝3，设S6＝3a，S3＝a，所以S3，S6－S3，S9－S6为等比数列，即a，2a，S9－S6成等比数列，所以S9－S6＝4a，解得S9＝7a，所以S9S6＝7a3a＝73.