第04讲 空间向量在立体几何中的应用（练，理科专用）（解析版）

第04讲空间向量在立体几何中的应用一、单选题1．如图所示，若正方体1111ABCDABCD的棱长为a，体对角线1AC与1BD相交于点O，则有（）．A．2112ABACaB．212ABACaC．212ABAOaD．21BCDAa【答案】C【分析】建立空间直角坐标系．利用向量坐标运算、数量积运算性质即可判断出结论．【详解】如图所示，以D为坐标原点，以DA、DC、1DD分别为x、y、z建立空间直角坐标系：由上图以及已知条件可知，D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，C(0，a，0)，O222aaa，，．因为ABuuur(0，a，0)，11AC(﹣a，a，0)，11ABACa2，故A错误；因为1AC(﹣a，a，a)，所以21ABACa，故B错误；因为222aaaAO，，，所以22aABAO，故C正确；因为BC(﹣a，0，0)，1DA(a，0，a)，所以21DABCa，故D错误．故选：C．2．已知向量3,1,2a，1,3,2br，6,2,cr，若a，b，c三向量共面，则实数（）A．32B．2C．52D．3【答案】B【分析】根据共面向量定理列等式，解方程即可.【详解】∵a，b，c三向量共面，∴存在实数m，n，使得cmanb，即6,2,3,,2,3,2mmmnnn，∴363222mnnmmn，解得52m，32n，2．故选：B.3．如图，在平行六面体1111ABCDABCD中，E，F分别在棱1BB和1DD上，且112DFDD.记1EFxAByADzAA，若14xyz，则1BEBB（）A．12B．14C．13D．16【答案】B【分析】设1BEBB，由空间向量的线性运算可得EF112ABADAA，由空间向量基本定理即可求解.【详解】设1BEBB，因为1112EFEBBAADDFBBABADDD1111122AAABADAAABADAA，所以1x，1y，12z.因为1124xyz，所以14.故选:B.4．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵111ABCABC中，90ABC，2AB，22BC，若直线1CA与直线AB所成角为60，则1AA()A．3B．2C．22D．23【答案】B【分析】以B为原点建立空间直角坐标系，利用向量方法求出1CA和AB夹角余弦值即可求出1A竖坐标，从而得到答案．【详解】如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则0,0,0B，2,0,0A，0,22,0C，设12,0,Az，则2,0,0BA，12,22,CAz，124cos,cos60212BACAz，解得2z，故12AA．故选：B．二、填空题5．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，ABCD∥，且90BAPCDP，若PAPDABDC，90APD，则二面角A-PB-C的余弦值为______．【答案】33【分析】建立空间直角坐标系，结合二面角的空间向量的坐标计算公式即可求出结果.【详解】在平面PAD内作PFAD，垂足为F，因为90BAPCDP，得AB⊥AP，CD⊥PD，由于AB//CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD，故ABPF，可得PF平面ABCD.以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.所以2,0,02A，20,0,2P，2,1,02B，2,1,02C.所以22,1,22PC，2,0,0CB，22,0,22PA，0,1,0AB.设,,nxyz是平面PCB的法向量，则0,0,nPCnCB即220,2220,xyzx可取0,1,2n.设,,mxyz是平面PAB的法向量，则0,0,mPAmAB即220,220.xzy可取1,0,1m.则3cos,3nmnmnm，由图可知二面角APBC的平面角为钝角，所以二面角APBC的余弦值为33.故答案为：33.6．下列结论中，正确的序号是________．①若a、b、c共面，则存在实数x、y，使得axbyc；②若a、b、c不共面，则不存在实数x、y，使得axbyc；③若a、b、c共面，b、c不共线，则存在实数x、y，使得axbyc；④若axbyc，则a、b、c共面．【答案】②③④【分析】根据共面向量的基本定理逐一判断即可.【详解】对于①，若b，c共线，且a，b不共线，则不存在实数x，y，使axbyc，故①错误；由共面向量的基本定理可知②、③、④均正确，故正确的个数是②③④．故答案为：②③④.三、解答题7．如图，在三棱柱111ABCABC中，1AA平面1,,1,ABCABACABACAAM为线段11AC上的一点.(1)求证：1BMAB；(2)若M为线段11AC上的中点，求直线1AB与平面BCM所成角大小.【答案】(1)证明见解析，(2)π4【分析】（1）由题意可得1,,ABACAA两两垂直，所以以A为原点，分别以1,,ABACAA所在的直线为,,xyz建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可，（2）先求出平面BCM的法向量，然后利用空间向量的夹角公式求解即可.（1）证明：因为1AA平面ABC，,ABAC平面ABC，所以11,AAABAAAC，因为ABAC，所以1,,ABACAA两两垂直，所以以A为原点，分别以1,,ABACAA所在的直线为,,xyz建立空间直角坐标系，如图所示，则111(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1)ABCABC,设(0,,1)Ma，所以1(1,,1),(1,0,1)BMaAB，所以11010BMAB，所以1BMAB，所以1BMAB（2）因为M为线段11AC上的中点，所以10,,12M，所以11,,12BM，(1,10)BC,设平面BCM的法向量为(,,)mxyz，则1020mBMxyzmBCxy，令1x，则11,1,2m，设直线1AB与平面BCM所成角为，则11111022sincos,212114mABmABmAB，因为π0,2，所以4，所以直线1AB与平面BCM所成角的大小为π4.8．如图，已知圆锥的顶点为P，点C是圆O上一点，45,24BOCABOP，点D是劣弧AC上的一点，平面PCD平面PABl，且lAB∥.(1)证明：OCOD.(2)求点O到平面PCD的距离.【答案】(1)证明见解析(2)233【分析】（1）由线面平行的判定和性质，推得//ABCD，再由45BOCo和圆的对称性，求出相关的角的大小，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PCD的法向量，利用点到平面的距离公式计算可得所求值．（1）证明：因为,lABl∥平面,PCDAB平面PCD，所以AB平面PCD.因为ABÌ平面ABCD，且平面ABCD平面PCDCD，所以//ABCD.因为45BOCo，所以45BOCOCDODC，所以90DOC，即OCOD.（2）解：如图，以O为坐标原点，以,,ODOCOP的方向分别为,,xyz轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示：则0,2,0,2,0,0,0,0,2,0,2,2,2,0,2,0,2,0CDPPCPDOC.设平面PCD的法向量为,,nxyz，则·220,·220,nPCyznPDxz令1x，得1,1,1n.因为23cos,323OCnOCnOCn，所以点O到平面PCD的距离为23cos,3OCOCn.9．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设ABa，ACb，ADcuuurr.(1)求证EG⊥AB；(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．【答案】(1)证明过程见解析；(2)23【分析】（1）作出辅助线，利用三线合一证明出,CEABDEAB，从而得到线面垂直，进而证明线线垂直；（2）用,,abc表达AG与EC，利用空间向量夹角公式求解异面直线AG和CE所成角的余弦值.（1）证明：连接DE，因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，且E，G分别是AB，CD的中点，所以,ACBCBDAD，故,CEABDEAB，又因为CEDEE，,CEDE平面CDE，所以AB平面CDE，因为EG平面CDE，所以ABEG.（2）由题意得：,,ABCACDABD!!!均为等边三角形且边长为1，所以32AGEC12AGbc，111222ECBCACACABACba，所以2111111222424AGECbcbababcbac1111cos60cos60cos602424abcbac1111128482，设异面直线AG和CE所成角为，则122coscos,33322AGECAGECAGEC10．如图，在四棱柱1111ABCDABCD中，1AA平面ABCD，底面ABCD满足//ADBC，且12,22ABADAABDDC.(1)求证://BD平面11BCD;(2)求直线AB与平面11BCD所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)66【分析】（1）由四棱柱的性质得到四边形11BBDD是平行四边形，得到11//BDBD，故证明出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角.（1）证明：在四棱柱1111ABCDABCD中，11//BBDD，故四边形11BBDD是平行四边形所以11//BDBD，因为BD平面11BCD，11BD平面11BCD，所以//BD平面11BCD（2）因为1AA平面ABCD，,ABAD平面ABCD，所以11,AAABAAAD，因为2,22ABADBD，所以222ABADBD，所以ABAD，故1,,ABADAA两两垂直，以A为坐标原点，分别以1,,ABADAA为x轴，y轴,z轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(2,0,2),(0,2,2)ABCBD所以111(2,0,0),(0,4,2),(2,2,0)ABBCBD设平面11BCD的法向量为(,,)nxyz11100nBCnBD即420220yzxy令1x，则1,2yz，(1,1,2)n设直线AB与平面11BCD所成角为，26sin|cos,|6||||26ABnABnABn.所以直线AB与平面11BCD所成角的正弦值是66.一、单选题1．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若AP＝xAB＋yAD＋z1AA，且0＜＜＜＜1xyz.则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是（）A．1B．12C．13D．16【答案】D【分析】利用平面线性规划的方法，我们类比推理，可得若01xy，则P点只能再现在三棱柱111ACDACD中，若1yz，则P点只能再现在三棱柱11