第04讲 空间向量在立体几何中的应用（练，理科专用）（原卷版）

第04讲空间向量在立体几何中的应用一、单选题1．如图所示，若正方体1111ABCDABCD的棱长为a，体对角线1AC与1BD相交于点O，则有（）．A．2112ABACaB．212ABACaC．212ABAOaD．21BCDAa2．已知向量3,1,2a，1,3,2br，6,2,cr，若a，b，c三向量共面，则实数（）A．32B．2C．52D．33．如图，在平行六面体1111ABCDABCD中，E，F分别在棱1BB和1DD上，且112DFDD.记1EFxAByADzAA，若14xyz，则1BEBB（）A．12B．14C．13D．164．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵111ABCABC中，90ABC，2AB，22BC，若直线1CA与直线AB所成角为60，则1AA()A．3B．2C．22D．23二、填空题5．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，ABCD∥，且90BAPCDP，若PAPDABDC，90APD，则二面角A-PB-C的余弦值为______．6．下列结论中，正确的序号是________．①若a、b、c共面，则存在实数x、y，使得axbyc；②若a、b、c不共面，则不存在实数x、y，使得axbyc；③若a、b、c共面，b、c不共线，则存在实数x、y，使得axbyc；④若axbyc，则a、b、c共面．三、解答题7．如图，在三棱柱111ABCABC中，1AA平面1,,1,ABCABACABACAAM为线段11AC上的一点.(1)求证：1BMAB；(2)若M为线段11AC上的中点，求直线1AB与平面BCM所成角大小.8．如图，已知圆锥的顶点为P，点C是圆O上一点，45,24BOCABOP，点D是劣弧AC上的一点，平面PCD平面PABl，且lAB∥.(1)证明：OCOD.(2)求点O到平面PCD的距离.9．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设ABa，ACb，ADcuuurr.(1)求证EG⊥AB；(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．10．如图，在四棱柱1111ABCDABCD中，1AA平面ABCD，底面ABCD满足//ADBC，且12,22ABADAABDDC.(1)求证://BD平面11BCD;(2)求直线AB与平面11BCD所成角的正弦值.一、单选题1．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若AP＝xAB＋yAD＋z1AA，且0＜＜＜＜1xyz.则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是（）A．1B．12C．13D．162．如图，在直三棱柱111ABCABC中，1,2,3ABBCBABCBBAEAC，点F在棱1CC上，点D在棱11AB上.若BFDE，则CF（）A．12B．23C．1D．323．有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为2的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E为线段BC上的动点，则直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围为（）A．12,32B．13,32C．12,22D．13,224．如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，90BAD，112PAABBCAD，BCAD∥，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角QPDA的平面角大小为π4，则ADQ△面积的取值范围是（）A．350,5B．250,5C．3100,5D．2100,5二、填空题5．化学中，晶体是由大量微观物质单位（原子、离子、分子等）按一定规则有序排列的结构．构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞．已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点），则图中原子连线BF与1BE所成角的余弦值为______．6．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则CPFQ________.三、解答题7．如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，4ABAD，2CD，45CDA．(1)求证：平面PAB平面PAD；(2)设ABAP，直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长．8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，M为PC中点．(1)求证：PA∥平面MBD；(2)若AB=AD=PA=2，∠BAD=120°，求二面角B-AM-D的正弦值．9．如图所示，多面体ABCDEF中，AD∥EF∥BC，平面ADEF平面BCEF，ADEC，且2ADCD，1CBEF，π3BCD.(1)证明：BFDE；(2)若2FB，求直线DC与平面ABF所成角的正弦值.10．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，60,DCBABPB.(1)证明：PDC△为等腰三角形.(2)若平面PDC平面,2ABCDAB，求二面角APBC的余弦值的取值范围.11．如图多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，60ABC，EA平面ABCD，//EABF，22ABAEBF(1)证明：平面EAC平面EFC；(2)在棱EC上有一点M，使得平面MBD与平面ABCD的夹角为45，求点M到平面BCF的距离.一、解答题1．（2022·天津·高考真题）直三棱柱111ABCABC中，112,,AAABACAAABACAB，D为11AB的中点，E为1AA的中点，F为CD的中点．(1)求证：//EF平面ABC；(2)求直线BE与平面1CCD所成角的正弦值；(3)求平面1ACD与平面1CCD所成二面角的余弦值．2．（2022·全国·高考真题（理））如图，四面体ABCD中，,,ADCDADCDADBBDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED平面ACD；(2)设2,60ABBDACB，点F在BD上，当AFC△的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．3．（2022·浙江·高考真题）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，//ABDC，//DCEF，5AB，3DC，1EF，60BADCDE，二面角FDCB的平面角为60．设M，N分别为,AEBC的中点．(1)证明：FNAD；(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．4．（2022·全国·高考真题）如图，PO是三棱锥PABC的高，PAPB，ABAC，E是PB的中点．(1)证明：//OE平面PAC；(2)若30ABOCBO，3PO，5PA，求二面角CAEB的正弦值．5．（2022·全国·高考真题（理））在四棱锥PABCD中，PD底面,,1,2,3ABCDCDABADDCCBABDP∥．(1)证明：BDPA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．6．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱111ABCABC中，侧面11BCCB为正方形，平面11BCCB平面11ABBA，2ABBC，M，N分别为11AB，AC的中点．(1)求证：MN∥平面11BCCB；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：ABMN；条件②：BMMN．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．7．（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱111ABCABC的体积为4，1ABC的面积为22．(1)求A到平面1ABC的距离；(2)设D为1AC的中点，1AAAB，平面1ABC平面11ABBA，求二面角ABDC的正弦值．8．（2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．（I）求证：1//DF平面11AEC；（II）求直线1AC与平面11AEC所成角的正弦值．（III）求二面角11AACE的正弦值．9．（2021·全国·高考真题）在四棱锥QABCD中，底面ABCD是正方形，若2,5,3ADQDQAQC．（1）证明：平面QAD平面ABCD；（2）求二面角BQDA的平面角的余弦值．10．（2021·全国·高考真题（理））如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，1PDDC，M为BC的中点，且PBAM．（1）求BC；（2）求二面角APMB的正弦值．11．（2021·全国·高考真题（理））已知直三棱柱111ABCABC中，侧面11AABB为正方形，2ABBC，E，F分别为AC和1CC的中点，D为棱11AB上的点．11BFAB（1）证明：BFDE；（2）当1BD为何值时，面11BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小?