第02讲 等式性质与不等式（讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）（原卷版）

第2讲等式性质与不等式本讲为高考重要知识点，题型主要和其他知识结合考察，属于工具型知识点，梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的不等式-基本不等式。体会函数观点统一方程和不等式的数学思想。考点一等式性质与不等式的性质1．实数的大小顺序与运算性质的关系(1)ab⇔a－b0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)ab⇔a－b0.2.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；ab，c0⇒acbc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2).考点二基本不等式1.基本不等式：ab≤2ab(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中2ab称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤22ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是24s(简记：和定积最大).注意：1.baab≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.2.ab≤22ab≤222ab.3.2221122abababab(a0，b0).高频考点一等式性质与不等式性质例1、已知，则下列结论正确的是A.B.C.D.【变式训练】1．若0ab，则下列不等式正确的是（）A．acbcB．33abC．abD．abab高频考点二“1”的代换型例2、已知x，y均为正实数，且2762xyxy，则x+3y的最小值为__________【变式训练】1.已知0a，0b，321ba，则23ab的最小值为（）A．20B．24C．25D．282.已知0a，0b，431ab，则13ba的最小值为（）A．13B．19C．21D．273.已知正实数a，b满足a＋b＝1，则222124abab的最小值为_____【做题技巧】1.基本公式2221a222abbabababab（）；（2）；（3）2.一正二定三相等。是均值成立的前提条件。高频考点三“和”与“积”互消型例3、已知x、y都是正数，且满足230xyxy，则xy的最大值为_________．【变式训练】1.已知0x，0y，且420xyxy，则2xy的最小值为（）A．16B．842C．12D．6422.已知0,0xy，且2969xyxy，则29xy的最小值为___________．【基本规律】1.有“和”、“积”无常数，可以同除，化回到“1”的代换型。如变式1；2.有“和”、“积”有常数求积型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如典例分析；3..有“和”、“积”有常数求和型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如变式2。高频考点四以分母为主元构造型例4、已知非负数,xy满足1xy，则1912xy的最小值是（）A．3B．4C．10D．16【变式训练】1.已知1,0xy，且1211xy，则21xy的最小值为（）A．9B．10C．11D．7262.已知正数a、b满足1ab，则411abab的最小值是（）A．1B．2C．4D．83.设0xy，则41xxyxy的最小值为（）A．32B．23C．4D．3102【基本规律】构造分母型：1.以分母为主元构造，可以直接分母换元，变化后为“1”的代换，如典例分析2.构造过程中，分子会有分母参数的变化，可以分离常数后再构造分母，如变式23.变式3是三项构造，且无条件等式。高频考点五构造分母：待定系数例5、已知正实数x，y满足434xy，则112132xy的最小值为（）A．3284B．1223C．1223D．1222【变式训练】1.知正实数x、y满足11132xyxy，则xy的最小值为（）A．3225B．3325C．2225D．23252.已知0a，0b，21ab，则11343abab取到最小值为．【基本规律】特征：条件等式和所求式子之间变量系数“不一致”方法：直观凑配或者分母换元高频考点六分子含参型：分离分子型例6、若40xy，则4yxxyy的最小值为___________.【变式训练】1.已知正实数,ab满足22ab，则22121abab的最小值是（）A．94B．73C．174D．1332.若,xyR，且21xy，则22212xyxy的最小值为_________3.若正实数x，y满足2x+y=2，则224122xyyx的最小值是_____．【方法总结】1.分离分子原理题，如典例分析2.分子二次型换元分离，如变式23.分子二次型凑配构造分离，如变式3高频考点七反解代入型:消元法例7、已知正数a，b满足112ab，则31ab的最大值为______．【变式训练】1.已知1m＞，0n＞，且223mnm，则214mmn的最小值为（）A．94B．92C．32D．22.若正数a，b满足2abab，则3111ab的最小值是______，此时b______.3.若正实数,xy满足114xxyy，则11xxy的最小值为___________.【方法总结】条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。高频考点八反解代入型:消元法例8、非负实数,xy满足2660xyxy，则2xy的最小值为___________.【变式训练】1.已知0,0xy，且241xyxy，则2xy的最小值是___．2.已知𝑎,𝑏∈𝑅+，且(𝑎+𝑏)(𝑎+2𝑏)+𝑎+𝑏=9，则3𝑎+4𝑏的最小值等于_______．【方法总结】特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理高频考点九均值用两次例9、,,abc是不同时为0的实数，则2222abbcabc的最大值为（）A．12B．14C．22D．32【变式训练】1.设正实数,xy满足1,12xy，不等式224121xymyx恒成立，则m的最大值为（）A．8B．16C．22D．422.已知0a，0b，则2232abab的最小值为___________.3.已知正实数a，b，c满足22243abc，则2ccab的最小值为______.【方法总结】两次均值，逐次消去，取等条件一致