第03讲 指数函数与对数函数（讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）（解析版）

第3讲指数函数与对数函数1.本讲为重要知识点，题型主要围绕函数的思想以及函数的性质考察，类比幂函数的研究方法，学习指数函数和对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化差异进行比较。2.通过解决简单的实际问题，体会如何根据变化差异，选择合适的函数类型构建数学模型，刻画现实问题的变化规律。考点一指数与指数函数1.根式(1)概念：式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：(na)n＝a(a使na有意义)；当n为奇数时，nna＝a，当n为偶数时，nna＝|a|＝,0,,0aaaa2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是nma＝nma(a0，m，n∈N*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是nma＝1nma(a0，m，n∈N*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a0，b0，r，s∈Q.3.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a10a1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，y1；当x0时，0y1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数4.常用结论（1）画指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，11a，.（2）在第一象限内，指数函数y＝ax(a0且a≠1)的图象越高，底数越大.考点二对数与对数函数1.对数的概念如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a0且a≠1，M0，N0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝nmlogaM(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：logbN＝loglogaaNb(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x1时，y0；当0x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.5.常用结论①.换底公式的两个重要结论(1)logab＝1logba；(2)logambn＝nmlogab.其中a0，且a≠1，b0，且b≠1，m，n∈R.②.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.③.对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，11a，，函数图象只在第一、四象限.考点三函数的应用（二）1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无零点个数2103．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)“对勾”函数模型y＝x＋ax(a0)4.三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的单调性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax高频考点一指数与指数函数例1、计算下列各式的值：(1)(235)0＋22·130.064－12124；(2)56log23·(log32＋log92)＋(123log3)2＋lne－lg1.【答案】(1)25；(2)2.【解析】（1）解：原式=113232131310+115210.4()142102105.（2）解：原式=23551115531059+log3log20+266242612412.例2、已知函数2431()3axxfx，若()fx的值域是(0,)，求a的值．【答案】0【解析】令243taxx，则13ty，因为()fx的值域是(0,)，即13ty的值域是(0,)，所以243taxx的值域为R，若0a，则243taxx为二次函数，其值域不可能为R，若0a，则43tx，其值域为R，所以0a【变式训练】1、计算：(1)21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48(2)lg232log9lglg4105【答案】(1)4736(2)1【解析】（1）解：21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48=212329273()1()()482---+=23233321[()]()223--+=22132()()223-+=194249-+=4736；（2）解：lg232log9lglg4105=2lg2lg52lg22+---=lg2(1lg2)2lg21---=-.2、已知0.130.12,0.3,0.3abc，则,,abc的大小关系为（）A．abcB．cbaC．bcaD．acb【答案】C【解析】∵0.3xy是减函数，30.10，所以30.10.30.31，又0.121，∴bca．故选：C．高频考点二对数与对数函数例1、化简13251log5log88___________.【答案】1【解析】原式133ln53ln22231ln2ln5.故答案为：1.例2、已知图中曲线1234CCCC，，，分别是函数1logayx，2logayx，3logayx，4logayx的图像，则1234aaaa，，，的大小关系是（）A．4321aaaaB．3412aaaaC．2134aaaaD．3421aaaa【答案】B【解析】由对数的性质log1aa有：11log1aa，22log1aa，33log1aa，44log1aa结合图像有：2143aaaa，故A，C，D错误.故选：B.【变式训练】1、若函数()fx是奇函数，当0x时，3()logfxx，则13f（）A．1B．1C．2D．2【答案】A【解析】解：因为fx为奇函数，所以1133ff，当0x时，3()logfxx，所以13311loglog333lf，所以11133ff；故选：A.2、关于函数21log22fxx的单调性的说法正确的是（）A．在R上是增函数B．在R上是减函数C．在区间14（，）上是增函数D．在区间14（，）上是减函数【答案】C【解析】由函数()fx的解析式知定义域为14（，），设1202txt（），显然1202txt（）在14（，）上是增函数，2logyt在0（，）上是增函数，由复合函数的单调性可知()fx在14（，）上是增函数，故选：C高频考点三函数的零点与方程的解例1、设,,abc依次表示函数121211,log1,()12xfxxxgxxxhxx的零点，则,,abc的大小关系为______．【答案】bca【解析】函数121211,log1,()12xfxxxgxxxhxx的零点，即为方程121211,log1,()12xxxxxx的解，在坐标系中分别画出函数12121,log,()2xyxyxy与1yx的图象，如图所示，结合图象，可得bca.故答案为：bca.【变式训练】1、已知二次函数f（x）=ax2+bx+c且不等式f（x）2x的解集为（1，3），对任意的x∈R都有()2fx恒成立.(1)求f（x）的解析式；(2)若32()()3gxxfxxm恰有两个零点，求m的值.【答案】(1)223xxxf(2)0或43【解析】（1）由2fxx得220axbxc，又2fxx的解集为13，，所以0021342313aabbaacaca①，因为对任意的xR都有2fx恒成立，所以2424acba，将①代入解得2410a，123abc，，，所以223xxxf；（2）由323gxxfxxm得233221232333gxxxxxmxxxm，24331gxxxxx，由0gx得13x，由0gx得1x或3x；所以gx在13，上单调递减，在,1，3,上单调递增；所以gx有极小值3gm，gx有极大值413gm，若gx恰有两个零点，只需30gm或4103gm；解得0m或43m.高频考点四函数模型的应用例1、叶广泥是一种相对新兴的物理吸附材料，有多孔隙结构特点的除甲醛材料，它有微小的孔隙能够收纳甲醛、甲苯等有害气体分子，因此是除甲醛的一种新材料，用来除甲醛基本上立竿见影．经研究发现，叶广泥除甲醛的量Q与叶广泥的质量m的关系是22log10mQ，当除甲醛的量为8个单位时，其质量m为多少个单位（）A．2B．242log5C．160D．6【答案】C【解析】由题意有：282log10m，所以2log410m所以4210m，所以4210160m，故选：C【变式训练】1、某厂准备投资100万元生产A､B两种新产品，据测算，投产后的年收益：A产品是投资额的15，B产品是其投资额的开平方后的2倍.(1)若投资x万元生产B产品，分别求出A产品､B产品的年利润f（x）､g（x）与x的函数关系式；(2)当B产品的投资额为多少时，两种产品的年总收益h（x）最大？【答案】(1)100,0100,2,01005xfxxgxxx(2)25万【解析】（1）由条件得100(),5