第02讲 一元函数的导数及其应用（二）（讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）（解析版）

第2讲一元函数的导数及其应用（二）本讲为重要知识点，也是导数中的难点。主要以切线的题型进行总结，也包含了一些隐零点的思想和极值点偏移的思想解决相关的切线的问题。还是要注意函数的思想和导数的几何意义来理解这类题的核心思想。考点一由导数的几何意义求基础切线问题导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．给切点求切线以曲线上的点(x0，f(x0))（已知x0为具体值）为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．有切线无切点求切点以曲线上的点(x0，f(x0))（x0为未知值，可以设出来）为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．无切点求参规律同上，注意待定系数法的应用。无切点多参思维同上，依旧是设切点，待定系数求解方程（组）。考点二复杂切线问题“过点”型切线0000000000001,)2=fxfxk=fxy)yba-y()5ab-y()-y(xyykxxkxkxx、设切点：P(x、（）3、y=（）（）。4、切线方程：、过，，代入：得解出以上是“在点”与“过点”的区别，判断切线条数1.设点列方程过程同前（求切线过程）2.切线条数判断，实质是切点横坐标为变量的函数（方程）零点个数判断多函数（多曲线）的公切线1.两个曲线有公切线，且切点是同一点2.两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。考点三切线的应用切线的应用：距离最值主要思维：利用平移直线，直到与该函数切线重合。切线的应用：距离公式转化型1.距离公式形式：平方和2.以此还可以类比斜率公式形式切线的应用：恒成立求参等应用利用切线作为“临界线”放缩。这类思维，有时也应用于大题的不等式证明，称之为“切线放缩”。切线的应用：零点等对于函数与直线交点个数，可以借助于切线（临界线）来求解，但是一定要注意函数一般情况下，是比较简单的凸凹函数。如下图（示意图），可以讲清楚这里边的“非充要”性高频考点一由导数的几何意义求基础切线问题例1、已知函数2sin1xfxx，则曲线yfx在点0,0处的切线的方程为__________.【答案】20xy【解析】因为221cos2sin1xxxfxx，所以02kf，则所求切线的方程为2yx.故答案为：20xy.【变式训练】1、曲线1xfxxex在点0,1处的切线方程为______.【答案】310xy【解析】解：由1xfxxex，得'(1)1xxfxexe，所以在点0,1处的切线的斜率为'000(01)13fee，所以所求的切线方程为13(0)yx，即310xy，故答案为：310xy，例2、曲线32fxxx在0p处的切线平行于直线41yx，则0p点的坐标为（）A．1,0B．2,8C．1,0和1,4D．2,8和1,4【答案】C【详解】令'2314fxx，解得1x，10,14ff，故0p点的坐标为1,0,1,4，故选C.【变式训练】2、已知函数()xxafxee为偶函数，若曲线()yfx的一条切线与直线230xy垂直，则切点的横坐标为（）A．2B．2C．2ln2D．ln2【答案】D【详解】fx为偶函数，则()()(1)0xxxxxxaafxeeeeaee1a，()xxfxee+，'().xxfxee设切点得横坐标为0x，则0003'().2xxfxee解得02xe，（负值舍去）所以0ln2x.故选：D例3、已知曲线3yx在点,ab处的切线与直线310xy垂直，则a的取值是（）A．-1B．C．1D．3【答案】B【详解】3yfxx，2'3fxx，直线310xy，13k，故2'33faa，解得1a.故选：B.【变式训练】3、若曲线ln(0)yxx的一条切线是直线12yxb，则实数b的值为___________【答案】1ln2【解析】设切点为00(,)xy，对函数lnyx求导，得到1yx，又曲线ln(0)yxx的一条切线是直线12yxb，所以切线斜率为0112x，∴02x，因此0ln2y，即切点为2,ln2，代入切线12yxb，可得1ln2b.故答案为：1ln2.例4、若直线2yxb是曲线2lnyax的切线，且0a，则实数b的最小值是______.【答案】2【解析】2lnyax的导数为2ayx，由于直线2yxb是曲线2lnyax的切线，设切点为,mn，则22am，∴ma，又22lnmbam，∴2ln2baaa（0a），2ln122lnbaa，当1a时，0b，函数b递增，当01a时，0b，函数b递减，∴1a为极小值点，也为最小值点，∴b的最小值为2ln122.故答案为：2．【变式训练】4、已知函数f（x）=axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x﹣e，则a+b=_____.【答案】0【详解】∵在点,efe处的切线方程为3yxe，2fee，代入lnfxaxxbx得2ab①.又''1ln,23fxaxbfeab②.联立①②解得：1,1ab.0ab.故答案为：0.高频考点二复杂切线问题例1、过原点作曲线lnyx的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为__________.【答案】,1e1e解：设切点坐标为(,)xlnx；1yx；故由题意得，1lnxxx；解得，xe；故切点坐标为(,1)e；切线的斜率为1e；故切线方程为1()1yxee，整理得0xey．故答案为：(,1)e；1e.【变式训练】1、过点(1,1)与曲线xyex相切的直线方程为______________.【答案】21yx.【详解】设切点坐标为000,exxx，由xyex得e1xy，切线方程为0000e1exxyxxx，切线过点1,1，00001e11exxxx，即00e0xx，00x，即所求切线方程为21yx.故答案为：21yx.例2、已知曲线3:3Syxx，则过点2,2P可向S引切线，其切线条数为（）A．1B．2C．3D．0【答案】C【解析】设在曲线S上的切点为3,3ttt，33yxx，则233yx，所以，曲线S在点3,3ttt处的切线方程为32333ytttxt，将点2,2P的坐标代入切线方程得32320tt，即21220ttt，解得11t，213t，313t.因此，过点2,2P可向S引切线，有三条.故选：C.【变式训练】2、已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【答案】A【详解】设切点为000,exxx，(1)xyxe，000(1)xxxyxe，则切线方程为：00000=1()xxyxexexx，切线过点(,0)Aa代入得：00000=1()xxxexeax2001xax，即方程2000xaxa有两个解，则有2400aaa或4a-.故答案为:A.例3、直线ykxb与曲线()yfx相切也与曲线()ygx相切，则称直线ykxb为曲线()yfx和曲线()ygx的公切线，已知函数2(),()ln,fxxgxax，其中0a，若曲线()yfx和曲线()ygx的公切线有两条，则a的取值范围为（）A．0aB．1aC．02eaD．20ae【答案】C【解析】【分析】设切点求出两个函数的切线方程，根据这个两个方程表示同一直线，可得方程组，化简方程组，可以得到变量a关于其中一个切点横坐标的函数形式，求导，求出函数的单调性，结合该函数的正负性，画出图象图形，最后利用数形结合求出a的取值范围.【详解】设曲线2()fxx的切点为：2(,)ss，2'()()2fxxfxx，所以过该切点的切线斜率为'()2fss，因此过该切点的切线方程为：222()2yssxsysxs；设曲线()ygx的切点为：(,ln)tat，'()ln()agxaxgxx，所以过该切点的切线斜率为'()agtt，因此过该切点的切线方程为：ln()lnaayatxtyxaattt，则两曲线的公切线应该满足：2224(1ln)lnasatttsaat，构造函数2'()4(1ln)(0)()4(12ln)htttthttt,当12te时，'()0,()htht单调递减，当120te时，'()0,()htht单调递增，所以函数有最大值为：12()2hee，当te时，()0ht，当0te，()0ht，函数的图象大致如下图所示：要想有若曲线()yfx和曲线()ygx的公切线有两条，则a的取值范围为02ea.故选：C【变式训练】3、函数()ln1mxfxxx与2()1gxx有公切线,(0)yaxa，则实数m的值为（）A．4B．2C．1D．12【答案】A【解析】设公切线,(0)yaxa与两个函数()ln1mxfxxx与2()1gxx图象的切点分别为A11xy，和B22xy，，由21()1mfxxx，()2gxx，可得22222222()21gxxayaxgxxy解得2a，所以有1211111111111()21()ln12mfxaxxmxfxxyxyaxx化简得21112ln10xxx，令22ln1hxxxx0x，则11304hxxx恒成立，即得函数22ln1hxxxx0x在定义域上为增函数，又因10h，则可解得方程21112ln10xxx，11x，则由21(1)2111mf解得4m.故选：A.高频考点三切线的应用例1、点P在函数lnyx的图像上，若满足到直线yxa的距离为1的点P有且仅有1个，则a（）A．21B．21C．21D．21【答案】B【详解】函数lnyx的导函数为1yx，设直线yxm与lnyx相切于点00(,)xy，则00000ln11yxyxmx，解得切点为1,0，由题可知1,0到直线yxa的距离为1，所以|1|12a，解得21a，结合图象可知，21a.故选：B.【变式训练】1、点A在直线y＝x上，点B在曲线lnyx上，则AB的最小值为（）A．22B．1C．2D．2【答案】A【分析】设平行于直线y＝x的直线y＝x＋b与曲线lnyx相切，将题意转化为两平行线间的距离，由导数的几何意义可得b的值，进而可得结果.【详解】设平行于直线y＝x的直线y＝x＋b与曲线lnyx相切，则两平行线间的距离即为AB的最小值．设直线y＝