第01讲 数列的概念与简单表示法（讲）（原卷版）

第01讲数列的概念与简单表示法本讲为高考命题热点，分值12-17分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，选择填空题常考等差等比数列的性质，大题题型多变，但对于文科来讲常考察基本量的计算与数列求和，对于理科考点相对难度较大，比如新定义，奇偶列等，考察逻辑推理能力与运算求解能力.考点一数列的定义与分类1.数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1＞an其中n∈N*递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列考点二数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.考点三数列的通项公式与递推公式1.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.2.数列的递推公式如果已知数列的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.考点四常用结论1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.高频考点一由数列的递推关系求通项角度1累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an【例1】在数列na中，1322nnaan，12a，则30a（）．A．659B．661C．663D．665角度2累乘法——形如an＋1an＝f(n)，求an【例2】已知数列na中，114a，112121nnnnaaaan，则满足11000na的n的最大值为（）A．3B．5C．7D．9角度3构造法——形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)，求an【例3】已知数列na满足1132nnnaaa，且10a，62022a，则2a（）A．202231B．202233C．202263D．202265【方法技巧】1.由数列的递推关系求通项公式的常用方法(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.(2)已知a1(a1≠0)，且anan－1＝f(n)，可用“累乘法”求an.2.已知a1且an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0).把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝q1－p，再利用换元法转化为等比数列求解.【跟踪训练】1．已知nS为数列na的前n项和，若1222,10nnaaS，则na的通项公式为（）A．34nnaB．22nnaC．2nannD．231nan2．已知数列na满足11a，对任意的nN都有11nnaan，则10a（）A．36B．45C．55D．663．已知1112,nnnaaan，则2016a（）A．504B．1008C．2016D．40324．某校为推广篮球运动，成立了篮球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员进行传球训练，从甲开始随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率为nP，则6P＝（）A．316B．14C．516D．385．数列na满足111122nnnaa，且112a，若13na，则n的最小值为（）A．3B．4C．5D．6高频考点二由an与Sn的关系求通项【例4】(1)已知数列na的前n项和nS满足(3),2nnnaS且315,S则8S（）A．60B．70C．80D．90(2)已知数列na满足12a，且*11NnnaSn，则10S（）A．1023B．1535C．1538D．2047【方法技巧】1.由Sn求an的步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式.(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并.2.Sn与an关系问题的解题思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化，(1)由an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式求解；(2)转化为只含an，an－1(n≥2)的关系式.【变式训练】1．在等比数列na中，已知前n项和2nnSa，则a的值为（）A．1B．-1C．2D．-22．若数列{na}的前n项和为nS＝2133na，nS=（）A．123nB．1(2)3nC．2123D．1(2)3n高频考点三数列的性质【例5】(1)(2022·成都诊断)设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1＋an1－an(n∈N*).则数列{an}前2021项的乘积a1a2a3a4…a2021＝________.(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，则nSn的最小值为()A.－3B.－5C.－6D.－9【方法技巧】1.在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性.2.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用周期性求值.(2)数列的单调性只需判定an与an＋1的大小，常用作差或作商法进行判断.【变式训练】1．已知数列na是严格增数列，满足13a，123110naaaa，且Zna.则n的最大值为（）A．10B．11C．12D．132．在等差数列na中，25a，621a，则数列na的通项公式为______．记数列1na的前n项和为nS，若2115nnmSS得对*nN恒成立，则正整数m的最小值为______．