第02讲 不等式选讲（练）（解析版）

第02讲不等式选讲一、解答题1．已知函数221fxxx．(1)求fx的最小值；(2)若a，b，c均为正数，且18fafbfc，证明：2221119abcabc．【分析】（1）由绝对值不等式的性质可求解；（2）由题意得3abc，再由基本不等式及不等式的性质可证明.【详解】（1）11()222fxxxx≥11(2)()22xxx=3122x≥32．(当且仅当12x时，取等号)∴函数f(x)的最小值为32．（2）因为a，b，c均为正数，所以33333318fafbfcabc，∴3abc．由111()()abcabc111aabbccbcacab()()()3abcacbbaacbc≥9，得1113abc≥．∵2()abc222222abcabbcac2223()≤abc，∴2233abc≥．∴2221119abcabc，∴2221119≥abcabc．2．已知函数|||2|fxxax．(1)若1a，求不等式5fx的解集；(2)若2fxa，求实数a的取值范围．【分析】（1）分别在2x，21x，1x条件下化简绝对值不等式，并求其解集；（2）利用绝对值三角不等式得到2fxa，依题意可得22aa，讨论a的正负，解方程求a的取值范围．【详解】（1）当1a时，12fxxx，不等式5fx可化为125xx，当2x时，不等式化为512xx，∴3x，此时32x≤≤；当21x时，不等式化为512xx，因为35恒成立，所以21x；当1x时，不等式化为512xx，∴2x，此时12x，综上所述，不等式的解集为[]3,2-；（2）222fxxaxxaxa，当且仅当20xax时取等，若2fxa，则22aa，当0a时，不等式恒成立；当0a时，不等式22aa，两边平方可得22444aaa，解得223a，∴02a，综上可得，a的取值范围是,2．3．已知函数121fxxx．(1)求不等式8fx的解集；(2)设函数1gxfxx的最小值为m，且正实数a，b，c满足abcm，求证：2222abcbca．【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求解；（2）利用绝对值不等式可求得2m，再利用基本不等式即可证明.【详解】（1）由题意可得：31,11213,1131,1xxfxxxxxxx，当1x时，则318fxx，解得23x；当11x时，则38fxx，解得11x；当1x时，则318fxx，解得713x；综上所述：不等式8fx的解集为7,33.（2）∵1112gxfxxxx，当且仅当1,1x时等号成立，∴函数gx的最小值为2m，则2abc，又∵2222aabbabb，当且仅当2abb，即ab时等号成立；2222bbccbcc，当且仅当2bcc，即bc时等号成立；2222ccaacaa，当且仅当2caa，即ac时等号成立；上式相加可得：222222abcbcaabcbca，当且仅当abc时等号成立，∴2222abcabcbca.4．已知函数12.fxxx(1)求不等式13fx的解集；(2)若fx的最小值为k，且2110kmnmn，求+mn的最小值．【分析】（1）分类讨论去绝对值解不等式；（2）根据+abab求fx的最小值，再根据题意结合基本不等式求mn的最小值（1）∵21,1123,2121,2xxfxxxxxx，则有：当1x时，则2+113x，解得：16x当21x时，则313，即21x成立当2x时，则2113x，解得：72x综上所述：不等式13fx的解集为7,6（2）∵=1++21+2=3fxxxxx，当且仅当21x时等号成立∴fx的最小值为3k，即19+=10mnmn则1999+=++=++102?+10=16nmnmmnmnmnmnmn，当且仅当9nmmn，即4,12mn时等号成立∴mn的最小值为16.5．已知函数31fxxax.(1)当2a时，求不等式5fx的解集；(2)若不等式7fxax…的解集非空，求a的最大值.【分析】（1）由绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号解不等式可得；（2）不等式分离参数后，转化为求函数的最大值，利用绝对值三角不等式可得．（1）由已知53215fxxx.当3x„时，3225xx，2x，此时无解；当31x„时，3225xx，0x，此时取01x„；当1x时，3225xx，43x，此时取413x.综上可得不等式5fx的解集为40,3.（2）由题意可得317||xaxx有解，因为17(1)(7)8xxxx（(1)(7)0xx时取等号），所以317xaxx有解，∴max317xaxx„，∵1726xxx，当170xx时等号成立，∴31172xxx„，∴12a„，即a的最大值为12.6．已知a，b，Rc，且2223abc.(1)求证：3abc；(2)若不等式2121xxabc对一切实数a，b，c恒成立，求x的取值范围.【分析】（1）对2()abc应用基本不等式可证；（2）由（1）只要解不等式1219xx，根据绝对值的定义分类讨论求解．【详解】（1）2222()222abcabcabbcca222329abc，所以3abc，当且仅当abc时等号成立（2）由（1）可知2121xxabc对一切实数a，b，c恒成立，等价于1219xx，令3,11()1212,1223,2xxgxxxxxxx，当1x时，393xx，当112x时，297xx，舍去，当12x时，393xx，即3x或3x.综上所述，x取值范围为,33,.一、解答题1．已知0,.ababab（1）求a的取值范围；（2）若1be，证明：1121aba；（3）求所有整数c，使得1abcabeecab恒成立.注：2.71828e为自然对数的底数.【答案】（1）1a；（2）证明见详解；（3）c的值可以是3,4,5,6．【分析】（1）分类讨论1b，1b，01b，即可得出结果（2）将原不等式证明转为证明2ab与32ba，构造函数lnfxxx，求导分析单调性，只需证2fafb与32bfaf即可．（3）由原不等式化为1abeeccab，主要求得abeeab取值范围即可，由于222abababeeeeababab，构造函数exyx即可求得abeeab取值范围．【详解】（1）当1b时，有,11abaab与abab矛盾；当1b时，有1ab与01bb而1aa，与abab矛盾；当01b时，有10b则11bbb，由abab得11aab，所以1a；综上所述：1a；（2）设lnfxxx，则1lnfxx，当1,xe时，()0fx¢，则fx在1,e上递增，由于abab得lnlnaabb，即fafb，由（1）知1a，又11be，故要证1121aba即证1122aba即证2ab且32ba①要证2ab，需证2fafb，即证2fbfb需证20fbfb，设2gbfbfb，需证min0gb由ln2bgbb，又11be，所以ln02bgbb所以gb在1,1e单调减，则10gbg，所以2ab成立，则11ab成立；②要证32ba，由于11be，则312ba需证32bfaf，即证32bfbf需证302bffb，设32bhbffb，需证max0hb由213112ln1lnln22223bebhbbb，又11be，21211ln0123eehee，121ln0231eh故有00hx，011xe，所以hb在01,xe单调减，在0,1x单调增又1311102ehfffaeee，10h所以max0hb，则32ba，得121ba所以1121aba成立；（3）因为1abcabeecab，0ab所以1abeeccab由222abababeeeeababab设exyx，由21xexyx，得exyx在0,1上单调减，在1,上单调增又因为12ab则1122ab所以2222abababeeeeeeababab由1abeeccab恒成立，所以c的值可以是3,4,5,62．已知3()122fxxx.（1）解不等式7()2fxx；（2）令()fx的最小值为M，正数a，b满足2abM，求证：222174abab.【答案】（1）324xx；（2）证明见解析.【分析】（1）分类讨论解不等式，再取并集；（2）分类讨论求出函数的最小值，可知22ab，利用基本不等式知102ab，再利用柯西不等式及不等式的性质即可证得结论.【详解】（1）当32x时，317()213222fxxxxx，得322x；当3122x时，357()21222fxxxxx，得3122x；当12x时，317()213222fxxxxx，得1324x≤，综上，原不等式的解集为324xx．（2）由（1）可知，当32x时，1()342fxx；当3122x时，5()22fxx；当12x时，1()322fxx．故()fx的最小值2M，则22ab．于是2222abab，则102ab，当且仅当1a，12b时，等号成立.22222117884abababababab2231173884abababab3744ab37172444．当且仅当12ab即1a，12b时取“=”所以，222174abab．3．已知函数()121fxxx.（Ⅰ）解不等式()22fxx；（Ⅱ）设函数()fx的最小值