第1章 集合与常用逻辑用语 第3节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考试要求1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.3.全称命题和特称命题名称全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.3.“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”，“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”.4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)命题“56或52”是假命题.()(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.2.(2021·全国乙卷)已知命题p：∃x∈R，sinx1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是()A.p∧qB.(綈p)∧qC.p∧(綈q)D.綈(p∨q)答案A解析由正弦函数的图象及性质可知，存在x∈R，使得sinx1，所以命题p为真命题.对任意的x∈R，均有e|x|≥e0＝1成立，故命题q为真命题，所以命题p∧q为真命题，故选A.3.(2017·山东卷)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧(綈q)C.(綈p)∧qD.(綈p)∧(綈q)答案B解析由已知得p真，q假，故綈q真，所以p∧(綈q)真，故选B.4.(易错题)命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则綈p是________.答案所有三角形都不是等腰三角形5.(易错题)命题“∀x∈R，ax2－ax＋10”为真命题，则实数a的取值范围为________.答案[0，4)解析①当a＝0时，10恒成立；②当a≠0时，a0，Δ＝a2－4a0，∴0a4.综上0≤a4.6.(2021·合肥调研)能说明命题“∀x∈R且x≠0，x＋1x≥2”是假命题的x的值可以是________(写出一个即可).答案－1(任意负数)解析当x0时，x＋1x≥2，当且仅当x＝1时取等号，当x0时，x＋1x≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，∴x的取值为负数即可，例如x＝－1.考点一含有逻辑联结词的命题1.(2021·成都调研)已知命题p：函数y＝2sinx＋sinx，x∈(0，π)的最小值为22；命题q：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0.下列命题为真命题的是()A.(綈p)∧qB.p∨qC.p∧(綈q)D.(綈p)∧(綈q)答案D解析命题p：函数y＝2sinx＋sinx，x∈(0，π)，由基本不等式成立的条件可知，y22sinx·sinx＝22，等号取不到，所以命题p是假命题.命题q：取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，所以命题q是假命题.所以綈p为真，綈q为真.因此，只有(綈p)∧(綈q)为真命题.2.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A.(綈p)∨(綈q)B.p∧(綈q)C.(綈p)∧(綈q)D.p∨q答案A解析命题p是“甲降落在指定范围”，则綈p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则綈q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q).3.(2022·洛阳质检)设a，b，c均为非零向量，已知命题p：a＝b是a·c＝b·c的必要不充分条件，命题q：x1是|x|1的充分不必要条件.则下列命题中为真命题的是()A.p∧qB.p∨qC.(綈p)∧(綈q)D.p∨(綈q)答案B解析由a＝b⇒a·c＝b·c，但a·c＝b·ca＝b，故p为假命题.命题q：∵|x|1，∴x1或x－1，∴由x1⇒|x|1，但|x|1x1，故q为真命题.故选B.4.(2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是________.①p1∧p4；②p1∧p2；③(綈p2)∨p3；④(綈p3)∨(綈p4).答案①③④解析p1是真命题，两两相交不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p1为真命题；p2是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线.由以上结论知綈p2，綈p3，綈p4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题为真命题，②中命题为假命题.感悟提升1.“p∨q”，“p∧q”，“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假.2.p∧q形式是“一假必假，全真才真”，p∨q形式是“一真必真，全假才假”，綈p与p的真假性相反.考点二全称量词与存在量词例1(1)(2021·江南十校联考)已知f(x)＝sinx－tanx，命题p：∃x0∈0，π2，f(x0)0，则()A.p是假命题，綈p：∀x∈0，π2，f(x)≥0B.p是假命题，綈p：∃x0∈0，π2，f(x0)≥0C.p是真命题，綈p：∀x∈0，π2，f(x)≥0D.p是真命题，綈p：∃x0∈0，π2，f(x0)≥0(2)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A.∀x∈R，f(－x)≠f(x)B.∀x∈R，f(－x)≠－f(x)C.∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)D.∃x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)答案(1)C(2)C解析(1)当x∈π4，π2时，sinx1，tanx1.此时sinx－tanx0，故命题p为真命题.由于命题p为特称命题，所以命题p的否定为全称命题，则綈p为：∀x∈0，π2，f(x)≥0.(2)∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数，∴∀x∈R，f(－x)＝f(x)为假命题，∴∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)为真命题.感悟提升1.全称命题与特称命题的否定与一般命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可.训练1(1)设命题p：所有正方形都是平行四边形，则綈p为()A.所有正方形都不是平行四边形B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形(2)下列四个命题：p1：∃x0∈(0，＋∞)，12x013x0；p2：∃x0∈(0，π)，sinx0cosx0；p3：∀x∈R，exx＋1；p4：∀x∈0，13，12xlog13x.其中真命题是()A.p1，p3B.p1，p4C.p2，p3D.p2，p4答案(1)C(2)D解析(1)“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即綈p为有的正方形不是平行四边形.(2)对于p1，当x0∈(0，＋∞)时，总有12x013x0成立，故p1是假命题；对于p2，当x0＝π6时，sinx0cosx0，故p2为真命题；对于p3，当x＝0时，ex＝x＋1，故p3为假命题；对于p4，结合指数函数y＝12x与对数函数y＝log13x在0，13上的图象(图略)可以判断p4为真命题.考点三由命题的真假求参数例2(1)已知命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0；q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0，若(綈p)∧q是真命题，则实数a的取值范围是________________.(2)(经典母题)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝12x－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________.答案(1)(1，＋∞)(2)14，＋∞解析(1)∵(綈p)∧q是真命题，∴p假q真.p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0为假命题，∴∃x∈[1，2]，x2－a0为真命题，即ax2成立，∴a1.q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0为真命题，所以Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，∴a≥1或a≤－2.综上，a1.(2)当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥14－m，所以m≥14.迁移本例(2)中，若将“∃x2∈[1，2]”改为“∀x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________.答案12，＋∞解析当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m，对∀x1∈[0，3]，∀x2∈[1，2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)max，得0≥12－m，∴m≥12.感悟提升1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.2.全称命题可转化为恒成立问题.3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.训练2(2022·许昌质检)已知p：关于x的方程ex－a＝0在(－∞，0)上有解；q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是________.答案0，12∪[1，＋∞)解析p真：a＝ex在(－∞，0)上有解，∴0a1.q真：ax2－x＋a0在R上恒成立，当a＝0时，显然不成立；当a≠0时，需a0，Δ＝（－1）2－4a20，∴a12.又p∨q为真，p∧q为假，∴p真q假或p假q真.当p真q假时，0a1，a≤12，∴0a≤