第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第5节　指数与指数函数

第5节指数与指数函数考试要求1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.1.根式的概念及性质(1)概念：式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：(na)n＝a(a使na有意义)；当n为奇数时，nan＝a，当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.2.分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是amn＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a－mn＝1nam(a0，m，n∈N*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.3.指数幂的运算性质实数指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a0，b0，r，s∈R.4.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a10a1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，y1；当x0时，0y1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数1.画指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，－1，1a.2.指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1与0a1来研究.3.在第一象限内，指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象越高，底数越大.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)4（－4）4＝－4.()(2)分数指数幂amn可以理解为mn个a相乘.()(3)函数y＝2x－1是指数函数.()(4)函数y＝ax2＋1(a1)的值域是(0，＋∞).()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错误.(2)当mn1时，不可以，故(2)错误.(3)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错误.(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，故(4)错误.2.(易错题)若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________.答案2解析∵f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，∴a2－3＝1且a0，a≠1，∴a＝2.3.(易错题)函数y＝21x－1的值域是________.答案(0，1)∪(1，＋∞)解析∵1x－1≠0，∴y＝21x－1≠1，而y＝21x－1恒大于0，则函数y＝21x－1的值域为(0，1)∪(1，＋∞).4.函数f(x)＝ax－1＋2(a0且a≠1)的图象恒过定点________.答案(1，3)5.(2021·贵阳一中月考)计算：32－13×－760＋814×42－－2323________.答案2解析原式＝2313×1＋234×214－2313＝2.6.已知a＝35－13，b＝35－14，c＝32－34，则a，b，c的大小关系是________.答案cba解析∵y＝35x是R上的减函数，∴35－1335－14350，即ab1，又c＝32－34320＝1，∴cba.考点一指数幂的运算1.计算：823－－780＋4（3－π）4＋[(－2)6]12＝________.答案π＋8解析原式＝(23)23－1＋|3－π|＋(26)12＝4－1＋π－3＋23＝π＋8.2.[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝________.答案0解析原式＝64100015－5223－27813－1＝410315×－52×23－32313－1＝52－32－1＝0.3.(2021·沧州七校联考)14－12·（4ab－1）3（0.1）－1·（a3·b－3）12(a0，b0)＝________.答案85解析原式＝2·432a32b－3210a32b－32＝85.4.已知f(x)＝3x＋3－x，f(b)＝4，则f(2b)＝________.答案14解析∵f(b)＝3b＋3－b＝4，∴f(2b)＝32b＋3－2b＝(3b＋3－b)2－2＝42－2＝14.感悟提升1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.考点二指数函数的图象及应用例1(1)已知实数a，b满足等式2022a＝2023b，下列等式一定不成立的是()A.a＝b＝0B.ab0C.0abD.0ba(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.答案(1)C(2)(0，2)解析(1)如图，观察易知，ab0或0ba或a＝b＝0.(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.∴当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.∴b的取值范围是(0，2).感悟提升1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.训练1(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A.a1，b0B.a1，b0C.0a1，b0D.0a1，b0(2)如果函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________.答案(1)D(2)(－∞，－1]解析(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0a1.又f(0)＝a－ba0，所以－b0，即b0.(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|3x－1|与y＝－m的图象，如图所示.由函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则y＝|3x－1|与y＝－m在第二象限没有交点，由图象知－m≥1，即m≤－1.考点三解决与指数函数性质有关的问题角度1比较指数式的大小例2(1)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A.abcB.acbC.bacD.bca(2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是()A.a＋b≤0B.a－b≥0C.a－b≤0D.a＋b≥0答案(1)C(2)D解析(1)∵函数y＝0.6x是减函数，00.61.5，∴10.60.60.61.5，即ba1.∵函数y＝1.5x在(0，＋∞)上是增函数，0.60，∴1.50.61.50＝1，即c1.综上，bac.(2)∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb，①令f(x)＝ex－π－x，则f(x)是R上的增函数，①式即为f(a)≥f(－b)，∴a≥－b，即a＋b≥0.角度2解简单的指数方程或不等式例3(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝4x，x≥0，2a－x，x0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________.(2)(2022·兰州模拟)已知函数f(x)＝12x，则不等式f(a2－4)f(3a)的解集为()A.(－4，1)B.(－1，4)C.(1，4)D.(0，4)答案(1)12(2)B解析(1)当a1时，41－a＝21，解得a＝12；当a1时，代入不成立，故a的值为12.(2)由题意f(x)为减函数，由f(a2－4)f(3a)，可得a2－43a，整理得a2－3a－40，解得－1a4.故选B.角度3指数函数性质的综合应用例4(1)不等式4x－2x+1＋a0，对∀x∈R都成立，则实数a的取值范围是________.(2)已知定义域为R的函数f(x)＝－12＋12x＋1，则关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)0的解集为________.答案(1)(1，＋∞)(2)－∞，－13∪(1，＋∞)解析(1)由题意得a－4x＋2x＋1对x∈R恒成立，令t＝2x，则t0，∴y＝－4x＋2x＋1＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1≤1.∴a1.(2)由题意知f(x)是奇函数，且在R上为减函数，则f(t2－2t)＋f(2t2－1)0，即f(t2－2t)－f(2t2－1)＝f(1－2t2).所以t2－2t1－2t2，解得t1或t－13.感悟提升1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.2.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.3.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.训练2(1)(2021·郑州调研)已知函数f(x)＝4x－12x，a＝f(20.3)，b＝f(0.20.3)，c＝f(log0.32)，则a，b，c的大小关系为()A.cbaB.bacC.bcaD.cab(2)若函数f(x)＝13ax2+2x+3的值域是0，19，则f(x)的单调递增区间是______.(3)函数y＝14x－12x＋1在区间[－3，2]上的值域是________.答案(1)A(2)(－∞，－1](3)34，57解析(1)因为f(x)＝4x－12x＝2x－2－x，定义域为R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，故函数f(x)是奇函数，又y＝2x在定义域上单调递增，y＝2－x在定义域上单调递减，所以f(x)＝2x－2－x在定义域上单调递增，由20.31，00.20.31，log0.320，可得f(20.3)f(0.20.3)f(log0.32)，则abc.(2)∵y＝13t是减函数，且f(x)的值域是0，19，∴t＝ax2＋2x＋3有最小值2，则a0且12a－224a＝2，解之得a＝1，因此t＝x2＋2x＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，故f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].(3)因为x∈[－3，2]，所以若令t＝12x，则t∈14，8，故y＝t2－t＋1＝t－122＋34.当t＝12时，ymin＝34；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数值域为34，57.1.若函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)的图象经过2，13，则f(－1)＝()A.1B.2C.3D.3答案C解析依题意可知a2＝13，解得a＝33，所以f(x)＝33x，所以f(－1)＝33－1＝3.2.(2021·成都诊断)不论a为何值，函数y＝(a－1)2x－a2恒过定点，则这个定点的坐标是()A.1，－12B.1，12C.－1，－12D.－1，12答案C解析y＝(a－1)2x－a2变为2x－12a－(2