第3章 导数及其应用 第2节　导数与函数的单调性

第2节导数与函数的单调性考试要求1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.利用导数研究函数的单调性，并会解决与之有关的方程(不等式)问题.1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.利用导数求函数单调区间的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)0(或0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f′(x)0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数.3.单调性的应用若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调，则y＝f′(x)在该区间上不变号.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(3)函数在(a，b)内单调递减与函数的单调递减区间为(a，b)是不同的.()(4)函数f(x)＝x－sinx在R上是增函数.()答案(1)×(2)√(3)√(4)√解析(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.2.(易错题)函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是()A.(0，1]B.[0，＋∞)C.(－∞，－1]D.[－1，0)∪(0，1]答案A解析由题意知f′(x)＝2x－2x＝2x2－2x(x0)，由f′(x)≤0，得0x≤1.3.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()答案D解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)0(其中x10x2x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.4.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)2，则f(x)2x＋4的解集为()A.(－1，1)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1)D.R答案B解析由f(x)2x＋4，得f(x)－2x－40，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2，因为f′(x)2，所以F′(x)0在R上恒成立，所以F(x)在R上递增，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－40等价于F(x)F(－1)，所以x－1，故选B.5.(易错题)若函数f(x)＝13x3－32x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1，4]，则实数a的值为________.答案－4解析f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)的单调递减区间为[－1，4]，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1，4]，∴－1，4是方程f′(x)＝0的两根，则a＝(－1)×4＝－4.6.(2021·青岛检测)已知函数f(x)＝sin2x＋4cosx－ax在R上单调递减，则实数a的取值范围是________.答案[3，＋∞)解析f′(x)＝2cos2x－4sinx－a＝2(1－2sin2x)－4sinx－a＝－4sin2x－4sinx＋2－a＝－(2sinx＋1)2＋3－a.由题设，f′(x)≤0在R上恒成立.因此a≥3－(2sinx＋1)2恒成立，则a≥3.考点一不含参函数的单调性1.函数f(x)＝x＋3x＋2lnx的单调递减区间是()A.(－3，1)B.(0，1)C.(－1，3)D.(0，3)答案B解析法一函数的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1－3x2＋2x，令f′(x)＝1－3x2＋2x0，得0x1，故所求函数的单调递减区间为(0，1)，故选B.法二由题意知x0，故排除A、C选项；又f(1)＝4f(2)＝72＋2ln2，故排除D选项.故选B.2.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间为________.答案(2，＋∞)解析f(x)的定义域为R，f′(x)＝(x－2)ex，令f′(x)0，得x2，∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞).3.已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cosx，则f(x)的单调递增区间为________.答案0，π6，5π6，π解析f′(x)＝1－2sinx，x∈(0，π)，令f′(x)＝0，得x＝π6或x＝5π6，当0xπ6或5π6xπ时，f′(x)0，∴f(x)在0，π6，5π6，π上单调递增.感悟提升确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.考点二讨论含参函数的单调性例1已知函数f(x)＝12ax2－(a＋1)x＋lnx，a0，试讨论函数y＝f(x)的单调性.解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax－(a＋1)＋1x＝ax2－（a＋1）x＋1x＝（ax－1）（x－1）x.(1)当0a1时，1a1，∴x∈(0，1)和1a，＋∞时，f′(x)0；x∈1，1a时，f′(x)0，∴函数f(x)在(0，1)和1a，＋∞上单调递增，在1，1a上单调递减；(2)当a＝1时，1a＝1，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(3)当a1时，01a1，∴x∈0，1a和(1，＋∞)时，f′(x)0；x∈1a，1时，f′(x)0，∴函数f(x)在0，1a和(1，＋∞)上单调递增，在1a，1上单调递减.综上，当0a1时，函数f(x)在(0，1)和1a，＋∞上单调递增，在1，1a上单调递减；当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a1时，函数f(x)在0，1a和(1，＋∞)上单调递增，在1a，1上单调递减.感悟提升1.含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.遇二次三项式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论.2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.3.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.训练1讨论f(x)＝x－alnx的单调性.解f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax＝x－ax，令f′(x)＝0，得x＝a，(1)当a≤0时，f′(x)0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，(2)当a0时，x∈(0，a)时，f′(x)0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)0，∴f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增.综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增.考点三根据函数单调性求参数值(范围)例2(经典母题)已知x＝1是f(x)＝2x＋bx＋lnx的一个极值点.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)设函数g(x)＝f(x)－3＋ax，若函数g(x)在区间[1，2]内单调递增，求实数a的取值范围.解(1)f(x)＝2x＋bx＋lnx，定义域为(0，＋∞).∴f′(x)＝2－bx2＋1x＝2x2＋x－bx2.因为x＝1是f(x)＝2x＋bx＋lnx的一个极值点，所以f′(1)＝0，即2－b＋1＝0.解得b＝3，经检验，适合题意，所以b＝3.所以f′(x)＝2x2＋x－3x2，令f′(x)0，得0x1.所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1).(2)g(x)＝f(x)－3＋ax＝2x＋lnx－ax(x0)，g′(x)＝2＋1x＋ax2(x0).因为函数g(x)在[1，2]上单调递增，所以g′(x)≥0在[1，2]上恒成立，即2＋1x＋ax2≥0在[1，2]上恒成立，所以a≥－2x2－x在[1，2]上恒成立，所以a≥(－2x2－x)max，x∈[1，2].因为在[1，2]上，(－2x2－x)max＝－3，所以a≥－3.所以实数a的取值范围是[－3，＋∞).迁移在本例(2)中，若函数g(x)在区间[1，2]上不单调，求实数a的取值范围.解∵函数g(x)在区间[1，2]上不单调，∴g′(x)＝0在区间(1，2)内有解，则a＝－2x2－x＝－2x＋142＋18在(1，2)内有解，易知该函数在(1，2)上是减函数，∴a＝－2x2－x的值域为(－10，－3)，因此实数a的取值范围为(－10，－3).感悟提升1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.2.如果能分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.3.若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解.训练2(1)若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是()A.13，＋∞B.－∞，13C.13，＋∞D.－∞，13(2)(2022·郑州调研)设函数f(x)＝12x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是________.答案(1)C(2)(1，2]解析(1)由y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，所以y′＝3x2＋2x＋m≥0恒成立，或y′＝3x2＋2x＋m≤0恒成立，显然y′＝3x2＋2x＋m≥0恒成立，则Δ＝4－12m≤0，所以m≥13.(2)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x－9x.又x0，令f′(x)＝x－9x≤0，得0x≤3.因为函数f(x)在区间[a－1，a＋1]上单调递减，所以a－10，a＋1≤3，解得1a≤2.考点四与导数有关的函数单调性的应用角度1比较大小例3(1)已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，则fπ5，f(1)，f－π3的大小关系为()A.f－π3f(1)fπ5B.f(1)f－π3fπ5C.fπ5f(1)f－π3D.f－π3fπ5f(1)(2)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时不等式f(x)＋xf′(x)0成立，若a＝30.3·f(30.3)，b＝logπ3·f(logπ3)，c＝log319·flog319，则a，b，c的大小关系是()A.abcB.cbaC.acbD.cab答案(1)A(2)D解析(1)因为f(x)＝xsinx，所以f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsinx＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以f－π3＝fπ3.又当x∈0，π2时，f′(x)＝sinx＋xcosx0，所以函数f(x)在0，