第4章 三角函数、解三角形 第3节　三角恒等变换 第一课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第3节三角恒等变换考试要求1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin__αcos__α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝2tanα1－tan2α.3.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中tanφ＝ba)或f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)(其中tanφ＝ab).1.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ).2.cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.3.1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.()(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.()(3)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立.()(4)存在实数α，使tan2α＝2tanα.()答案(1)√(2)√(3)×(4)√解析(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋kπ(k∈Z).2.(易错题)已知锐角α，β满足sinα＝1010，cosβ＝255，则α＋β＝()A.3π4B.π4C.π6D.3π4或π4答案B解析∵sinα＝1010，cosβ＝255，又α，β为锐角，∴cosα＝31010，sinβ＝55，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝31010×255－1010×55＝22.∵0α＋βπ，∴α＋β＝π4.3.计算：1＋tan15°1－tan15°＝________.答案3解析1＋tan15°1－tan15°＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝3.4.(易错题)tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50°＝________.答案3解析∵tan60°＝tan(10°＋50°)＝tan10°＋tan50°1－tan10°tan50°，∴tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°)＝3－3tan10°tan50°，∴原式＝3－3tan10°tan50°＋3tan10°tan50°＝3.5.(2020·江苏卷)已知sin2π4＋α＝23，则sin2α的值是________.答案13解析因为sin2π4＋α＝23，所以1－cosπ2＋2α2＝23，即1＋sin2α2＝23，所以sin2α＝13.6.函数f(x)＝sin2x＋3cos2x的周期为________.答案π解析f(x)＝212sin2x＋32cos2x＝2sin2x＋π3，周期T＝2π2＝π.第一课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点一公式的基本应用1.已知cosα＝－45，α∈π，3π2，则sinα＋π4等于()A.－210B.210C.－7210D.7210答案C解析∵α∈π，3π2，且cosα＝－45，∴sinα＝－35，∴sinα＋π4＝－35×22＋－45×22＝－7210.2.(2022·贵阳模拟)已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角α，β的终边分别与单位圆交于点Ax1，13，Bx2，23，其中x10x2，则cos(2α－β)＝________.答案75－8227解析由题意可知，sinα＝13，sinβ＝23，由x10x2可知cosα＝－1－sin2α＝－223，cosβ＝1－sin2β＝53，所以cos2α＝－2232－132＝79，sin2α＝2×－223×13＝－429，所以cos(2α－β)＝cos2αcosβ＋sin2αsinβ＝75－8227.3.已知2tanθ－tanθ＋π4＝7，则tan2θ＝________.答案－43解析2tanθ－tanθ＋π4＝2tanθ－1＋tanθ1－tanθ＝7，解得tanθ＝2，∴tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝2×21－22＝－43.感悟提升1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.考点二公式的逆用、变形用角度1公式的活用例1(1)tan22.5°1－tan222.5°的值为________.(2)若α＋β＝－3π4，则(1＋tanα)(1＋tanβ)＝________.(3)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.答案(1)12(2)2(3)－12解析(1)tan22.5°1－tan222.5°＝12·2tan22.5°1－tan222.5°＝12tan45°＝12×1＝12.(2)tan－3π4＝tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝1，所以1－tanαtanβ＝tanα＋tanβ，所以1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝2，即(1＋tanα)·(1＋tanβ)＝2.(3)∵sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，∴①2＋②2得1＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋1＝1，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.角度2辅助角公式的运用例2化简：(1)sinπ12－3cosπ12；(2)cos15°＋sin15°；(3)1sin10°－3sin80°；(4)315sinx＋35cosx.解(1)法一原式＝212sinπ12－32cosπ12＝2sinπ6sinπ12－cosπ6cosπ12＝－2cosπ6＋π12＝－2cosπ4＝－2.法二原式＝212sinπ12－32cosπ12＝2cosπ3sinπ12－sinπ3cosπ12＝－2sinπ3－π12＝－2sinπ4＝－2.(2)cos15°＋sin15°＝2(cos45°cos15°＋sin45°sin15°)＝2cos(45°－15°)＝2×32＝62.(3)原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4（sin30°cos10°－cos30°sin10°）2sin10°cos10°.＝4sin（30°－10°）sin20°＝4.(4)315sinx＋35cosx＝6532sinx＋12cosx＝65sinxcosπ6＋cosxsinπ6＝65sinx＋π6.感悟提升1.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力.2.对asinx＋bcosx化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.训练1(1)下列式子化简正确的是()A.cos82°sin52°－sin82°cos52°＝12B.sin15°sin30°sin75°＝14C.tan48°＋tan72°1－tan48°tan72°＝3D.cos215°－sin215°＝32(2)(2022·郑州模拟)函数f(x)＝cosx－sinx＋π6－sinx－π6在[0，π]的值域为________.答案(1)D(2)[－2，1]解析(1)选项A中，cos82°sin52°－sin82°·cos52°＝sin(52°－82°)＝sin(－30°)＝－sin30°＝－12，故A错误；选项B中，sin15°sin30°sin75°＝12sin15°cos15°＝14sin30°＝18，故B错误；选项C中，tan48°＋tan72°1－tan48°tan72°＝tan(48°＋72°)＝tan120°＝－3，故C错误；选项D中，cos215°－sin215°＝cos30°＝32，故D正确.(2)f(x)＝cosx－32sinx－12cosx－32sinx＋12cosx＝cosx－3sinx＝2cosx＋π3.∵0≤x≤π，∴π3≤x＋π3≤4π3，则当x＋π3＝π时，函数取得最小值2cosπ＝－2，当x＋π3＝π3时，函数取得最大值2cosπ3＝2×12＝1，即函数的值域为[－2，1].考点三角的变换例3(1)已知sinα＝255，sin(β－α)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于()A.5π12B.π3C.π4D.π6(2)(2022·大庆模拟)已知α，β∈3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－π4＝2425，则cosα＋π4＝________.(3)(2022·兰州模拟)若23sinx＋2cosx＝1，则sin5π6－x·cos2x＋π3＝________.答案(1)C(2)－45(3)732解析(1)因为sinα＝255，sin(β－α)＝－1010，且α，β均为锐角，所以cosα＝55，cos(β－α)＝31010，所以sinβ＝sin[α＋(β－α)]＝sinα·cos(β－α)＋cosαsin(β－α)＝255×31010＋55×－1010＝25250＝22，所以β＝π4.故选C.(2)由题意知，α＋β∈3π2，2π，sin(α＋β)＝－35＜0，所以cos(α＋β)＝45，因为β－π4∈π2，3π4，所以cosβ－π4＝－725，cosα＋π4＝cos（α＋β）－β－π4＝cos(α＋β)cosβ－π4＋sin(α＋β)sinβ－π4＝－45.(3)由题意可得4sinx＋π6＝1，令x＋π6＝t，则sint＝14，x＝t－π6，所以原式＝sin(π－t)cos2t＝sint(1－2sin2t)＝732.感悟提升1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示.(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝α＋β2－α2＋β等.训练2(1)已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin2α等于()A.5665B.－5665C.1665D.－1635(2)(2021·全国大联考)已知cosα＋π6－sinα＝435，则sinα＋11π6＝________.答案(1)B(2)－45解析(1)因为π2＜β＜α＜3π4，所