第5章 平面向量与复数 第4节　复　数

第4节复数考试要求1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.1.复数的有关概念(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).(2)分类：项目满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).(5)模：向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，b∈R).2.复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ→.3.复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.z1z2＝a＋bic＋di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0).(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ→＝OZ1→＋OZ2→，Z1Z2→＝OZ2→－OZ1→.1.i的乘方具有周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.2.(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i.3.复数的模与共轭复数的关系z·z－＝|z|2＝|z－|2.4.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()(3)原点是实轴与虚轴的交点.()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√解析(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小.2.(2021·全国Ⅱ卷)复数2－i1－3i在复平面内对应的点所在的象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A解2－i1－3i＝（2－i）（1＋3i）（1－3i）（1＋3i）＝5＋5i10＝1＋i2，所以该复数在复平面内对应的点为12，12，该点在第一象限.3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(z－＋i)＝()A.6－2iB.4－2iC.6＋2iD.4＋2i答案C解析因为z＝2－i，所以z(z－＋i)＝(2－i)·(2＋2i)＝6＋2i，故选C.4.(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝()A.－1－32iB.－1＋32iC.－32＋iD.－32－i答案B解析z＝3＋2i（1－i）2＝3＋2i－2i＝3i－22＝－1＋32i.5.(易错题)已知复数z1满足(2－i)z1＝6＋2i，z1与z2＝m－2ni(m，n∈R)互为共轭复数，则z1的虚部为________，m＋n＝________.答案23解析由(2－i)z1＝6＋2i，得z1＝6＋2i2－i＝（6＋2i）（2＋i）（2－i）（2＋i）＝10＋10i5＝2＋2i，则z2＝2－2i，则m＝2，n＝1，所以m＋n＝3.6.如图所示，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则z2z1＝________.答案－15－25i解析由题图得z1＝－2－i，z2＝i，所以z2z1＝i－2－i＝i（－2＋i）（－2－i）（－2＋i）＝－2i－15＝－15－25i.考点一复数的相关概念1.(2021·浙江卷)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a＝()A.－1B.1C.－3D.3答案C解析因为(1＋ai)i＝－a＋i＝3＋i，所以－a＝3，即a＝－3.故选C.2.(2021·全国乙卷)设2(z＋z－)＋3(z－z－)＝4＋6i，则z＝()A.1－2iB.1＋2iC.1＋iD.1－i答案C解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－＝a－bi，代入2(z＋z－)＋3(z－z－)＝4＋6i，可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.故选C.3.(2021·西安调研)下面关于复数z＝－1＋i(其中i为虚数单位)的结论正确的是()A.1z对应的点在第一象限B.|z||z＋1|C.z的虚部为iD.z＋z－0答案D解析∵z＝－1＋i，∴1z＝1－1＋i＝－1－i（－1＋i）（－1－i）＝－12－i2.则1z对应的点在第三象限，故A错误；|z|＝2，|z＋1|＝1，故B错误；z的虚部为1，故C错误；z＋z－＝－20，故D正确.感悟提升1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2.3.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为z－＝a－bi，则z·z－＝|z|2＝|z－|2，即|z|＝|z－|＝z·z－，若z∈R，则z－＝z.利用上述结论，可快速、简洁地解决有关复数问题.考点二复数的几何意义例1(1)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A.(x＋1)2＋y2＝1B.(x－1)2＋y2＝1C.x2＋(y－1)2＝1D.x2＋(y＋1)2＝1(2)(2022·渭南质检)已知a1－i＝－1＋bi，其中a，b是实数，则复数a－bi在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案(1)C(2)B解析(1)由已知条件，可设z＝x＋yi(x，y∈R).∵|z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.(2)由a1－i＝－1＋bi，得a＝(－1＋bi)(1－i)＝(b－1)＋(b＋1)i，∴b＋1＝0，a＝b－1，即a＝－2，b＝－1，∴复数a－bi＝－2＋i在复平面内对应点(－2，1)，位于第二象限.感悟提升1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b)OZ→＝(a，b).2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，可把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.训练1(1)如图，若向量OZ→对应的复数为z，则z＋4z表示的复数为()A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i(2)(2021·郑州模拟)已知复数z1＝2－i2＋i在复平面内对应的点为A，复数z2在复平面内对应的点为B，若向量AB→与虚轴垂直，则z2的虚部为________.答案(1)D(2)－45解析(1)由图知OZ→＝(1，－1)，∴z＝1－i，∴z＋4z＝1－i＋41－i＝1－i＋4（1＋i）（1－i）（1＋i）＝3＋i.(2)z1＝2－i2＋i＝（2－i）2（2＋i）（2－i）＝35－45i，所以A35，－45，设复数z2对应的点B(x0，y0)，则AB→＝x0－35，y0＋45.又向量AB→与虚轴垂直，∴y0＋45＝0，故z2的虚部y0＝－45.考点三复数的四则运算例2(1)(2021·全国乙卷)设iz＝4＋3i，则z＝()A.－3－4iB.－3＋4iC.3－4iD.3＋4i(2)(2020·新高考山东卷)2－i1＋2i＝()A.1B.－1C.iD.－i答案(1)C(2)D解析(1)法一(转化为复数除法运算)因为iz＝4＋3i，所以z＝4＋3ii＝（4＋3i）（－i）i（－i）＝－4i－3i2－i2＝3－4i.故选C.法二(利用复数的代数形式)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由iz＝4＋3i，可得i(a＋bi)＝4＋3i，即－b＋ai＝4＋3i，所以－b＝4，a＝3，即a＝3，b＝－4，所以z＝3－4i.故选C.法三(巧用同乘技巧)因为iz＝4＋3i，所以iz·i＝(4＋3i)·i，所以－z＝4i－3，所以z＝3－4i，故选C.(2)法一2－i1＋2i＝（2－i）（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝2－2－5i5＝－i.法二利用i2＝－1进行替换，则2－i1＋2i＝－2×（－1）－i1＋2i＝－2i2－i1＋2i＝－i（1＋2i）1＋2i＝－i，选D.感悟提升1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.2.记住以下结论，可提高运算速度：(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i1－i＝i；(3)1－i1＋i＝－i；(4)－b＋ai＝i(a＋bi)；(5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N).训练2(1)(1＋2i)(2＋i)＝()A.－5iB.5iC.－5D.5(2)(2022·乌鲁木齐模拟)已知复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则z2＋2z－1等于()A.2＋2iB.2－2iC.2iD.－2i答案(1)B(2)B解析(1)(1＋2i)(2＋i)＝2＋i＋4i＋2i2＝2＋5i－2＝5i，故选B.(2)z2＋2z－1＝（1＋i）2＋21＋i－1＝2＋2ii＝（2＋2i）（－i）－i2＝2－2i.1.(2020·浙江卷)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝()A.1B.－1C.2D.－2答案C解析因为a－1＋(a－2)i是实数，所以a－2＝0，所以a＝2.2.设z＝－3＋2i，则在复平面内z－对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案C解析z－＝－3－2i，故z－对应的点(－3，－2)位于第三象限.3.(2022·昆明诊断)在复平面内，复数z＝1＋i的共轭复数对应的向量OZ′→为答案C解析由题意，得z－＝1－i，其在复平面内对应的点为(1，－1)，所以OZ′→＝(1，－1).故选C.4.已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，zi＋1是实数，那么复数z的实部与虚部满足的关系式为()A.a＋b＝0B.a－b＝0C.a－2b＝0D.a＋2b＝0答案B解析因为z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＋i＝a＋bi1＋i＝（a＋bi）（1－i）（1＋i）（1－i）＝a＋b＋（b－a）i2∈R，所以b－a＝0，即a－b＝0.故选B.5.如图，复数z1，z2在复平面上分别对应点A，B，则z1·z2＝()A.0B.2＋iC.－2－iD.－1＋2i答案C解析由复数几何意义，知z1＝－1＋2i，z2＝i，∴z1·z2＝i(－1＋2i)＝－2－i.6.(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝()A.－1－32iB.－1＋32iC.－32＋iD.－32－i答案B解析z＝3＋2i（1－i）2＝3＋2i－2i＝（3＋2i）i－2i·i＝3i－22＝－1＋32i.故选B.7.(2021·河南部分重点高中联考)若复数a＋|3－4i|2＋i(a∈R)是纯虚数，则a＝()A.－3B.－2C.2D.3答案B解析a＋|3－4i|2＋i＝a＋5（2－i）（2＋i）（2－i）＝a＋2－i为纯虚数.则a＋2＝0，解得a＝－2.8.已知i是虚数单位，若z－1i＝1－i1＋i2021，则|z|＝()A.1B.2C.2D.5答案C解析1i＝－ii（－i）＝－i，1－i1＋i＝（1－i）2（1＋i）（1－i）＝－2i2＝－i，所以1－i1＋i2021＝(－i)2021＝(－i)505×4＋1＝－i，所以