第6章 数列 第4节　数列求和及综合应用

第4节数列求和及综合应用考试要求1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差数列，非等比数列求和的几种常见方法.1.特殊数列的求和公式(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）2d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a1－anq1－q＝a1（1－qn）1－q，q≠1.2.数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.(4)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋1）2.2.12＋22＋…＋n2＝n（n＋1）（2n＋1）6.3.裂项求和常用的三种变形(1)1n（n＋1）＝1n－1n＋1.(2)1（2n－1）（2n＋1）＝1212n－1－12n＋1.(3)1n＋n＋1＝n＋1－n.4.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝a1－an＋11－q.()(2)当n≥2时，1n2－1＝12(1n－1－1n＋1).()(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求和.()(4)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝3n－12.()答案(1)√(2)√(3)×(4)√解析(3)要分a＝0或a＝1或a≠0且a≠1讨论求解.2.等差数列{an}中，已知公差d＝12，且a1＋a3＋…＋a99＝50，则a2＋a4＋…＋a100＝()A.50B.75C.100D.125答案B解析a2＋a4＋…＋a100＝(a1＋d)＋(a3＋d)＋…＋(a99＋d)＝(a1＋a3＋…＋a99)＋50d＝50＋50×12＝75.3.(2022·南阳模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1n＋1＋n，则S99＝()A.7B.8C.9D.10答案C解析an＝1n＋1＋n＝n＋1－n，所以S99＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(100－99)＝100－1＝9.4.(2022·银川检测)数列112，314，518，7116，…，(2n－1)＋12n…的前n项和Sn的值等于()A.n2＋1－12nB.2n2－n＋1－12nC.n2＋1－12n－1D.n2－n＋1－12n答案A解析Sn＝[1＋3＋…＋(2n－1)]＋12＋14＋…＋12n＝（1＋2n－1）·n2＋121－12n1－12＝n2＋1－12n.5.(易错题)数列{(n＋3)·2n－1}前20项的和为________.答案22·220－2解析S20＝4·1＋5·21＋6·22＋…＋23·219，2S20＝4·2＋5·22＋6·23＋…＋23·220，两式相减，得－S20＝4＋2＋22＋…＋219－23·220＝4＋2（1－219）1－2－23·220＝－22·220＋2.故S20＝22·220－2.6.(2021·河北“五个一”名校质检)若f(x)＋f(1－x)＝4，an＝f(0)＋f1n＋…＋fn－1n＋f(1)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________.答案an＝2(n＋1)解析由f(x)＋f(1－x)＝4，可得f(0)＋f(1)＝4，…，f1n＋fn－1n＝4，所以2an＝(f(0)＋f(1))＋(f1n＋fn－1n)＋…＋(f(1)＋f(0))＝4(n＋1)，即an＝2(n＋1).考点一分组转化求和例1已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且关于x的不等式a1x2－S2x＋2＜0的解集为(1，2).(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝a2n＋2an－1，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)设等差数列{an}的公差为d，因为关于x的不等式a1x2－S2x＋2＜0的解集为(1，2)，所以S2a1＝1＋2＝3.又S2＝2a1＋d，所以a1＝d，易知2a1＝2，所以a1＝1，d＝1.所以数列{an}的通项公式为an＝n.(2)由(1)可得，a2n＝2n，2an＝2n.因为bn＝a2n＋2an－1，所以bn＝2n－1＋2n，所以数列{bn}的前n项和Tn＝(1＋3＋5＋…＋2n－1)＋(2＋22＋23＋…＋2n)＝n（1＋2n－1）2＋2（1－2n）1－2＝n2＋2n＋1－2.感悟提升1.若数列{cn}满足cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.2.若数列{cn}满足cn＝an，n为奇数，bn，n为偶数，其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和.训练1已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n项和Sn.解Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3，所以当n为偶数时，Sn＝2×1－3n1－3＋n2ln3＝3n＋n2ln3－1；当n为奇数时，Sn＝2×1－3n1－3－(ln2－ln3)＋n－12－nln3＝3n－n－12ln3－ln2－1.综上所述，Sn＝3n＋n2ln3－1，n为偶数，3n－n－12ln3－ln2－1，n为奇数.考点二裂项相消法求和例2(2022·西安模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－a1(n∈N*)，数列{bn}满足b1＝6，bn＝Sn＋1an＋4(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)记数列1bn的前n项和为Tn，证明：Tn＜12.(1)解已知Sn＝2an－a1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－a1，两式相减得an＝2an－1，n≥2，所以anan－1＝2为常数，bn＝Sn＋1an＋4，令n＝1，得6＝a1＋1a1＋4，解得a1＝1，所以数列{an}是公比为2，首项为1的等比数列，所以{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)证明由Sn＝2an－a1＝2n－1，得bn＝2n＋12n－1＋3，则1bn＝2n－1（2n＋1）（2n－1＋1）＝12n－1＋1－12n＋1，所以Tn＝120＋1－121＋1＋(121＋1－122＋1)＋…＋12n－1＋1－12n＋1＝12－12n＋1＜12.感悟提升1.用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：1n＋n＋k＝1k(n＋k－n)，1n（n＋k）＝1k(1n－1n＋k)，裂项后可以产生连续相互抵消的项.2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.训练2设数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝2，an＋1＝Sn＋2.(1)证明：{an}为等比数列；(2)记bn＝log2an，数列λbnbn＋1的前n项和为Tn，若Tn≥10恒成立，求λ的取值范围.(1)证明由已知，得a1＝S1＝2，a2＝S1＋2＝4，当n≥2时，an＝Sn－1＋2，所以an＋1－an＝(Sn＋2)－(Sn－1＋2)＝an，所以an＋1＝2an(n≥2).又a2＝2a1，所以an＋1an＝2(n∈N*)，所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列.(2)解由(1)可得an＝2n，所以bn＝n.则λbnbn＋1＝λn（n＋1）＝λ1n－1n＋1，Tn＝λ1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝λ1－1n＋1，因为Tn≥10，所以λnn＋1≥10，从而λ≥10（n＋1）n，因为10（n＋1）n＝101＋1n≤20，所以λ的取值范围为[20，＋∞).考点三错位相减法求和例3(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝nan3.已知a1，3a2，9a3成等差数列.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和.证明：TnSn2.(1)解设{an}的公比为q，则an＝qn－1.因为a1，3a2，9a3成等差数列，所以1＋9q2＝2×3q，解得q＝13，故an＝13n－1，bn＝n3n.(2)证明由(1)知Sn＝1×1－13n1－13＝321－13n，Tn＝13＋232＋333＋…＋n3n，①13Tn＝132＋233＋334＋…＋n－13n＋n3n＋1，②①－②得23Tn＝13＋132＋133＋…＋13n－n3n＋1，即23Tn＝131－13n1－13－n3n＋1＝121－13n－n3n＋1，整理得Tn＝34－2n＋34×3n，则2Tn－Sn＝234－2n＋34×3n－321－13n＝－n3n0，故TnSn2.感悟提升1.如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法.2.错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.(3)应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.训练3(2021·福州质量检测)在①Sn＝2an＋1；②a1＝－1，log2(anan＋1)＝2n－1；③a2n＋1＝anan＋2，S2＝－3，a3＝－4这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答.问题：已知单调数列{an}的前n项和为Sn，且满足________.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{－nan}的前n项和Tn.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解(1)选①，即Sn＝2an＋1.①当n＝1时，S1＝2a1＋1，故a1＝－1；当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，②①②两式相减得an＝2an－1，所以{an}为等比数列，其中公比为2，首项为－1.所以an＝－2n－1.选②，即a1＝－1，log2(anan＋1)＝2n－1.所以当n≥2时，log2(anan＋1)－log2(an－1an)＝2，即an＋1an－1＝4，所以{a2k－1}(k∈N*)为等比数列，其中首项为a1＝－1，公比为4，所以a2k－1＝－1×4k－1＝－2(2k－1)－1；由a1＝－1，log2(a1a2)＝1，得a2＝－2，同理可得，a2k＝－2×4k－1＝－22k－1(k∈N*).综上，an＝－2n－1.选③，即a2n＋1＝anan＋2，S2＝－3，a3＝－4.所以{an}为等比数列，设其公比为q，则a1（1＋q）＝－3，a1q2＝－4，解得a1＝－1，q＝2或a1＝－9，q＝－23.又因为{an}为单调数列，所以q＞0，故a1＝－1，q＝2，所以an＝－2n－1.(2)由(1)知，－nan＝n·2n－1，所以Tn＝1＋2×2＋3×22＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1，2Tn＝2＋2×22＋…＋(n－2)·2n－2＋(n－1)·2n－1＋n·2n，两式相减得－Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－2＋2n－1－n·2n＝(2n－1)－n·2n.所以Tn＝(n－1)·2n＋1.考点四数列的综合问题例4(12分)已知数列{an}，{bn}，{cn}满足a1＝b1＝c1＝1，c