第8章 立体几何 第5节　直线、平面垂直的判定与性质

第5节直线、平面垂直的判定与性质考试要求1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行a⊥αb⊥α⇒a∥b2.直线和平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.(2)范围：0，π2.3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：[0，π].4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α1.三个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.2.三种垂直关系的转化1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l⊂α或l∥α，故(1)错误.(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误.2.已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n答案C解析由题意知，α∩β＝l，所以l⊂β，因为n⊥β，所以n⊥l.3.(2022·全国百校大联考)若m，n，l为空间三条不同的直线，α，β，γ为空间三个不同的平面，则下列为真命题的是()A.若m⊥l，n⊥l，则m∥nB.若m⊥β，m∥α，则α⊥βC.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β答案B解析A中，m，n可能平行，相交或异面；C中，α与β可能平行或相交；D中，α与β可能平行或相交.故选B.4.(2018·全国Ⅰ卷)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A.8B.62C.82D.83答案C解析连接BC1，因为AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B＝30°，AB⊥BC1，所以△ABC1为直角三角形.又AB＝2，所以BC1＝23.又B1C1＝2，所以BB1＝（23）2－22＝22，故该长方体的体积V＝2×2×22＝82.5.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是()A.BC⊥平面PACB.AE⊥EFC.AC⊥PBD.平面AEF⊥平面PBC答案C解析对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而BC⊂底面圆面，则PA⊥BC，又由圆的性质可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，则BC⊥平面PAC，所以A正确；对于B，由A项可知BC⊥AE，由题意可知AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PCB，所以AE⊥平面PCB.而EF⊂平面PCB，所以AE⊥EF，所以B正确；对于C，由B项可知AE⊥平面PCB，因而AC与平面PCB不垂直，所以AC⊥PB不成立，所以C错误；对于D，由B项可知，AE⊥平面PCB，AE⊂平面AEF，由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PBC，所以D正确.6.在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心.答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，图1在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心.(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.因为PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，所以PC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，图2所以PC⊥AB.因为PO⊥AB，PO∩PC＝P，所以AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心.考点一直线、平面垂直的判定与性质例1如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.感悟提升(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性；③面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质.训练1如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.证明∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB.又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.考点二平面与平面垂直的判定与性质例2(2021·全国乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.(1)证明：平面PAM⊥平面PBD；(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积.(1)证明∵PD⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，∴PD⊥AM.∵PB⊥AM，且PB∩PD＝P，PB，PD⊂平面PBD，∴AM⊥平面PBD.又AM⊂平面PAM，∴平面PAM⊥平面PBD.(2)解∵M为BC的中点，∴BM＝12AD.由题意可知AB＝DC＝1.∵AM⊥平面PBD，BD⊂平面PBD，∴AM⊥BD，由∠BAM＋∠MAD＝90°，∠MAD＋∠ADB＝90°，得∠BAM＝∠ADB，易得△BAM∽△ADB，所以BMAB＝ABAD，即12AD1＝1AD，得AD＝2，所以S矩形ABCD＝AD·DC＝2×1＝2，则四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝13S矩形ABCD·PD＝13×2×1＝23.感悟提升1.面面垂直判定的两种方法与一个转化(1)两种方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).(2)一个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.2.面面垂直性质的应用(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线垂直于第三个平面.训练2如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝∠AA1C＝90°，平面AA1C1C⊥平面ABC.(1)求证：AA1⊥A1B；(2)若AA1＝2，BC＝3，∠A1AC＝60°，求点C到平面A1ABB1的距离.(1)证明因为平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C.又AA1⊂平面AA1C1C，所以BC⊥AA1.因为∠AA1C＝90°，所以AA1⊥A1C.又因为BC∩A1C＝C，所以AA1⊥平面A1BC.又A1B⊂平面A1BC，所以AA1⊥A1B.(2)解由(1)可知A1A⊥平面A1BC，A1A⊂平面A1ABB1，所以平面A1BC⊥平面A1ABB1，且交线为A1B，所以点C到平面A1ABB1的距离等于△CA1B的A1B边上的高，设其为h.在Rt△AA1C中，A1A＝2，∠A1AC＝60°，则A1C＝23.由(1)得BC⊥A1C，所以在Rt△A1CB中，BC＝3，A1B＝21，h＝BC·A1CA1B＝6321＝677.故点C到平面A1ABB1的距离为677.考点三平行垂直的综合问题例3如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.求证：(1)PE⊥BC；(2)平面PAB⊥平面PCD；(3)EF∥平面PCD.证明(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC.因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC，所以DE∥FG，DE＝FG，所以四边形DEFG为平行四边形，所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.感悟提升1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.如果有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.训练3(2019·天津卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3.(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；(2)求证：PA⊥平面PCD；(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.(1)证明连接BD