第6讲 指对幂函数（原卷版）

第06讲指对幂函数【知识点总结】一、指数的运算性质当a0，b0时，有(1)aman=am+n(m,nR)；(2)mmnnaaa(m,nR)(3)(am)n=amn(m,nR)；(4)(ab)m=ambm(mR)；(5)1ppaa(pQ)(6)mnmnaa(m,nN+)二、指数函数(1)一般地，形如y=ax(a0且a1)的函数叫做指数函数；(2)指数函数y=ax(a0且a1)的图像和性质如表2-6所示.y=axa10a1图象(1)定义域：R(1)定义域：R值域(2)值域：(0,+)(2)值域：(0,+)(3)过定点(0,1)(3)过定点(0,1)(4)在R上是增函数.(4)在R上是减函数.(5)0y1x0y=1x=0y1x0(5)0y1x0y=1x=0y1x0三、对数概念(0)log(01)xaaNNnNaa且，叫做以a为底N的对数.注：①0N，负数和零没有对数；②log10,log1aaa；③10lglog,lnlogeNNNN.四、对数的运算性质(1)log()loglog(,);(2)logloglog(,);(3)loglog();log(4)log(01,0,01)logaaaaaanaacacMNMNMNRMMNMNRNMnMMRbbaabcca且且（换底公式）特殊地1log(,01,1)logabbababa且；log(5)loglog(,0,0,1,)(6)(0,01)(6)log(,01).manaaNNanbbabmanRmaNNaaaNNRaa；且；且五、对数函数（1）一般地，形如log(01)ayxaa且的函数叫对数函数.（2）对数函数log(01)ayxaa且的图像和性质，如表2-7所示.logayx1a1a图像性质（1）定义域：(0,)（2）值域：R（3）图像过定点：(1,0)（4）在(0,)上是增函数（1）定义域：(0,)（2）值域：R（3）图像过定点：(1,0)（4）在(0,)上是减函数六、幂函数的定义一般地，函数()yxR叫做幂函数，其中x是自变量，是常数.注：判断一个函数是否为幂函数，关键是看其系数是否为1，底数是否为变量x.七、幂函数的图像幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四项县内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像如果与坐标轴相交，则交点一定是原点.当11,2,3,,12时，在同一坐标系内的函数图像如图所示.八、幂函数的性质当0时，幂函数yx在(0,)上是增函数，当1时，函数图像是向下凸的；当01时，图像是向上凸的，恒过点(0,0)(1,1)和；当0时，幂函数yx在(0,)上是减函数.幂函数yx的图像恒过点(1,1).【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2log(2),1()e,1xxxfxx则(2)(ln4)ff（）A．2B．4C．6D．8例2．（2022·全国·高三专题练习）方程4x－2x＋1－3＝0的解是（）．A．log32B．1C．log23D．2例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数xfxab（0a且1a），其中a，b均为实数.（1）若函数fx的图象经过点0,2A，1,3B，求函数fx的解析式；（2）如果函数fx的定义域和值域都是1,0，求ab的值.例4．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算120.75013110.027()81()369；（2）若11226xx，求22xx的值．例5．（2022·全国·高三专题练习）化简求值（1）3lg1log233536loglog32145；（2）2lg2lg5lg2lg5ln1；.（3）23722ln2log7log81ln2log2log8e；．（4）2log33718182log7log9log6log3.例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()22xxfx.（1）判断()fx在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（2）解关于x的不等式2(log)(1)fxf.例7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()fxx，1()2xgxm（1）当[1,3]x时，求()fx的值域；（2）若对0,2x，()1gx…成立，求实数m的取值范围；（3）若对10,2x，2[1,3]x，使得12()()gxfx„成立，求实数m的取值范围．例8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()fx是定义在实数R上的偶函数，且(1)(1)fxfx，当[0,1]x时，()1fxx，函数5()log||gxx．（1）判断函数5()log||gxx的奇偶性；（2）证明：对任意xR，都有(2)()fxfx；（3）在同一坐标系中作出()fx与()gx的大致图象并判断其交点的个数．【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()fx和(2)fx都是定义在R上的偶函数，当[0,2]x时，()2xfx，则20212f（）A．2B．22C．322D．22．（2022·全国·高三专题练习）化简2112333324()3abab的结果为（）A．－23abB．－8abC．－6abD．－6ab3．（2022·浙江·高三专题练习）已知1241,1()3log,1xxfxxx，则1(2)ff（）A．1B．2C．3D．154．（2022·全国·高三专题练习）若233xyaaa是指数函数，则有（）A．1a或2B．1aC．2aD．0a且1a5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知2,,0,21,0,xxfxfxx，则2log3f（）A．916B．34C．32D．36．（2022·浙江·高三专题练习）函数()(0xfxaa，且a≠1)的图象经过点13,27P，则f(-2)=（）A．19B．33C．13D．97．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝21(),024,0xxxxx，则此函数图象上关于原点对称的点有（）A．0对B．1对C．2对D．3对8．（2022·全国·高三专题练习）函数2131xfx的定义域是（）A．1,B．1,2C．,1D．,29．（2022·全国·高三专题练习）若x满足不等式221124xx，则函数2xy的值域是（）A．1,28B．1,28C．1,8D．2,10．（2022·全国·高三专题练习）定义运算,,aababbab，若函数22xxfx，则()fx的值域是（）A．1,B．0,C．0,1D．1,1211．（2022·全国·高三专题练习）已知函数3log2fxx的定义域为A，则函数212xgxxA的值域为（）A．,0B．,1C．1,D．1,12．（2022·全国·高三专题练习）函数1423xxyxR的值域为（）A．2,B．3,C．13,3D．9,13．（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设Rx，用[]x表示不超过x的最大整数，则[]yx称为高斯函数，也称取整函数，例如：[3.7]4，[2.3]2.已知1()21xxefxe，则函数[()]yfx的值域为（）A．{0}B．{1，0}C．{2，1，0}D．{1，0，1}14．（2022·全国·高三专题练习）已知()fx是定义在R上的偶函数，在区间,0上单调递增，且函数2()loggxx.若实数a满足1124affg，则实数a的取值范围是（）A．0,1B．,02,C．0,2D．1,15．（2022·全国·高三专题练习）函数xya（0a，且1a）在1,2上最大值与最小值的差为2，则a（）A．1或2B．2C．12D．1416．（2022·全国·高三专题练习）设2a＝5b＝m，且112ab，则m等于（）A．100B．10±C．2log10D．1017．（2022·上海·高三专题练习）若7logxyz，则x，y，z之间满足（）A．7zyxB．7zyxC．7zyxD．7xyz18．（2022·全国·高三专题练习）若25abcz，且111abc，则z的值可能为（）A．7B．10C．7D．1019．（2022·全国·高三专题练习（理））已知2log3,37ba＝＝，则21log56＝（）A．3abaabB．3abaabC．3ababD．3baab20．（2022·全国·高三专题练习）已知43xym，且122xy，则m（）A．2B．4C．6D．921．（2022·全国·高三专题练习）函数25logafxaax为对数函数，则18f等于A．3B． 3C．3log6D．3log822．（2022·全国·高三专题练习）若函数2()ln(1)xxfxeae对xR恒有意义，则实数a的取值范围是()A．(,)B．(2,)C．(2,2)D．(,2)23．（2022·全国·高三专题练习）函数2ln1yxax的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．,22,B．1,00,C．(,1)D．1,124．（2022·全国·高三专题练习）函数22log22fxx的值域为（）A．3(,)2B．3(,]2C．3(,)2D．3[,)225．（2022·全国·高三专题练习）下列各函数中，值域为0,的是（）A．22log23yxxB．12xyC．212xyD．113xy26．（2022·全国·高三专题练习）已知3()2logfxx，1,9x，则22yfxfx的值域为（）A．6,23B．6,13C．4,11D．4,2027．（2022·全国·高三专题练习）设函数21228log(1)31fxxx，则不等式212(log)(log)2fxfx的解集为（）A．(0，2]B．1,22C．[2，＋∞)D．10,2∪[2，＋∞)28．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数f（x）的图象过点（64，2），则f（x）＜f（x2）的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（0，1）∪（1，+∞）29．（2022·全国·高三专题练习）幂函数223()(55)()mmfxmmxmZ是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（）A．﹣6B．1C．6D．1或﹣630．（2022·全国·高三专题练习（理））设11,,1,2,32，则使函数yx的定义域为R，且该函数为奇函数的值为（）A．1或3B．1或1C．1或3D．1、1或331．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数1()(21)agxax的图象过函数1()(0,1)2xbfxmmm的图象