第15讲 等差数列、等比数列综合运用（解析版）

第15讲等差数列、等比数列综合运用【知识点总结】【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0，cn=an+bn，若数列{cn}是1，1，2，…，则数列{cn}的前10项和为（）A．978B．557C．467D．979【答案】A【详解】设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d.∵cn=an+bn，112233112ababab解得1112adq，∴cn=2n-1+(1-n).∴{cn}的前10项和为10100912978122．故选：A例2．（2022·全国·高三专题练习）已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列na中，2a，8a，12a依次成等比数列，则4a的值是（）A．1619B．2219C．26D．58【答案】A【详解】设公差不为零的等差数列na的公差为d，则有0d，因为2a，8a，12a依次成等比数列，11a，所以有28212aaa，即121(71)1()()adadad+，整理得2119dad，因为0d，所以119ad，119d，因此14316311919aad，故选：A.例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na是公差不为零的等差数列，nb是正项等比数列，若11ab，77ab，则（）A．44abB．55abC．88abD．99ab【答案】D【详解】等差数列的通项公式是关于n的一次函数，*nN，图象中的孤立的点在一条直线上，而等比数列nb的通项公式是关于n的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，如图所示当0d时，如下图所示，当公差0d时，如下图所示，如图可知当1177,abab时，44ab，55ab，88ab，99ab.故选：D例4．（2022·全国·高三专题练习）数列na，nb满足112ab，112nnnnbaab，*nN，则数列nab的前n项和为（）A．14413nB．4413nC．11413nD．1413n【答案】B【详解】由题意，数列na，nb满足112ab，112nnnnbaab，*nN，所以数列na是等差数列，且公差是2，nb是等比数列，且公比是2，又因为12a，所以112naandn所以21212212222nnnnanbbb，设nnacb，所以22nnc，则14nncc，所以数列nc是等比数列，且公比为4，首项为4．由等比数列的前n项和的公式，可得数列nc前n项的和为414441143nn．故选：B.例5．（2022·全国·高三专题练习）已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且a1，a3，a4成等比数列，则Sn取最大值时n的值为（）A．4B．5C．4或5D．5或6【答案】C【详解】设等差数列na的公差为,0dd，134,,aaa成等比数列，2314aaa即2(22)2(23)dd，则12d，211119812244216nnnnnSandnn，所以当4n或5时，nS取得最大值.故选：C.例6．（2022·浙江·高三专题练习）已知等差数列na和等比数列nb满足12a，24b，22lognnab，*Nn．（1）求数列na，nb的通项公式；（2）设数列na中不在数列nb中的项按从小到大的顺序构成数列nc，记数列nc的前n项和为nS，求100S．【详解】（1）设等差数列na的公差为d，因为24b，所以2222log4ab，所以212daa．所以2122nann．又22lognnab，即222lognnb，所以2lognnb所以2nnb．（2）由（1）112222nnnnba，即nb是数列na中的第12n项．设数列na的前n项和为nP，数列nb的前n项和为nQ，因为67642baa，731282baa，所以数列nc的前100项是由数列na的前107项去掉数列nb的前7项后构成的，所以1001077SPQ810722142221211302．例7．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为整数的数列na满足31a，74a，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．（1）求数列na的通项公式；（2）求出所有的正整数m，使得1212mmmmmmaaaaaa．【详解】（1）设数列前项的公差为d，则512ad，613ad(d为整数)又∵5a，6a，7a成等比数列，∴2(31)4(21)dd，即291450dd，得1d或（舍去），当6n时，4nan，6分∴51a，62a，数列从第项起构成的等比数列的公比为，∴当5n时，52nna，故54,(4){2,(5)nnnnan，（2）由（1）知，当1m时等式成立，即3216(3)(2)(1)，当3m时等式成立，即1010(1)01，当2m或时等式不成立，当时，535122(21)72mmmmmaaa，312122mmmmaaa若1212mmmmmmaaaaaa，则5312722mm，∴2727m，5m，2728m，从而方程2727m无解，∴1212mmmmmmaaaaaa.故所求或．【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等差数列na和正项等比数列nb}，111ab，3b是2a，6a的等差中项，8a是3b，5b的等比中项，则下列关系成立的是（）A．100100abB．102411abC．105abD．999ab【答案】B【分析】设等差数列公差为d，等比数列公比为q，由题意可得：3262183522nnnbaaanabbb，进而可得结果.【详解】设等差数列公差为d，等比数列公比为q，由题意可得：2326226835212262(1+7)baadqdabbqdq1,2nnnanbA.100100,2，99100100a100bba,故A不正确；B.,210102411a1024b=1024，故B正确；C.,24105a10b=16，故C不正确；D.,28999a99b=256，故D不正确.故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na，nb中满足1231nnaan，110a，1nnba，若nb前n项之和为nS，则满足不等式16170nS的最小整数n是（）.A．8B．9C．11D．10【答案】D【分析】由123nnaa可求得数列na的通项公式，进而求得数列nb，表示出nS，令16170nS，即可得到满足不等式16170nS的最小整数n.【详解】解：由题意可知：123nnaa，即11322nnaa，即11112nnaa，又110aQ，119a，即数列1na是以首项为9，公比为12的等比数列，11192nna，即11192nna，11192nnnba，12111219661212nnnnSbbb，则111632170nnS，即1112510n，又9112512，满足不等式16170nS的最小整数19n，即10n.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用构造法求出数列na的通项公式.3．（2022·浙江·高三专题练习）2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基.某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2020年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为（）A．2655万元B．2970万元C．3005万元D．3040万元【答案】C【分析】根据20142019年每年的投资额成等差数列、20192024年每年的投资额成等比数列，利用等差和等比数列求和公式即可求得结果.【详解】20142019年每年的投资额成等差数列，首项为160，公差为20，则20142019年的投资总额为：6561602096030012602（万元），2019年的投资额为：1606120260（万元）20192024年每年的投资额成等比数列，首项为260，公比为1.1，则20192024年的投资总额为：626011.1200511.1（万元）；20142024年的投资总额约为126020052603005（万元）故选：C.4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列na的前n项和为nS，若981S，713a，若3S，1716SS，kS成等比数列，则k（）A．11B．13C．15D．17【答案】A【分析】先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的前n项和公式求出nS，再由3S，1716SS，kS成等比数列，列出式子求解即可.【详解】解：由95981Sa，解得：59a，又713a，75275aad，1541aad，2nSn，3S，1716SS，kS成等比数列，223171617kSSSSa，即22933k，解得：11k.故选：A．5．（2021·全国·高三专题练习）已知各项均为正数且单调递减的等比数列na满足3a，432a，52a成等差数列．其前n项和为nS，且531S，则（）A．412nnaB．32nnaC．51322nnSD．4216nnS【答案】C【分析】先根据3a，432a，52a成等差数列以及na单调递减，求出公比q，再由531S即可求出1a，再根据等比数列通项公式以及前n项和公式即可求出.【详解】解：由3a，432a，52a成等差数列，得：43532aaa，设na的公比为q，则22310qq，解得：12q或1q，又naQ单调递减，12q，15511231112aS，解得：116a，数列na的通项公式为：15111622nnna，5116121321212nnnS.故选：C．6．（2019·山东·青岛二中高三阶段练习（文））已知na为等差数列，nb为等比数列，其公比1q且0ib1,2,,in，若11ab，1111ab，则（）A．66abB．66abC．66abD．66ab或66ab【答案】A【分析】由基本不等式可得61111111116222aaabbbbb，由等号取不到可得答案.【详解】由题意可得四个正数满足11ab，1111ab，由等差数列和等比数列的性质可得11162aaa，21116bbb，由基本不等式可得61111111116