第16讲 数列通项（原卷版）

第16讲数列通项【知识点总结】一、观察法根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项.二、利用递推公式求通项公式①叠加法：形如1()nnaafn的解析式，可利用递推多式相加法求得na②叠乘法：形如1()nnafna(0)na*(2,)nnN的解析式，可用递推多式相乘求得na③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法和同除以指数法.④利用nS与na的关系求解形如1(,)()nnnfSSga的关系，求其通项公式，可依据1*1(1)(2,)nnnSnaSSnnN，求出na【典型例题】（多选）例1．（2022·全国·高三专题练习）数列{an}的前n项和为Sn，*111,2NnnaaSn，则有（）A．Sn＝3n－1B．{Sn}为等比数列C．an＝2·3n－1D．21,123,2nnnan例2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na的首项11a，满足11()()2nnnaanN，则2018a__________.例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na满足11a，且111233nnnaan，则数列na的通项公式na______．例4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na的首项为12，且满足*1112,nnnanannN.求na的通项公式.例5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{ }na的前n项和为nS，11a，121(2)121nnaaaannnn…，nN，求数列{ }na的通项公式.例6．（2022·全国·高三专题练习）在数列na中，112,22nnaaa，求na.例7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na中，11a，121nnnaaa，求na的通项公式.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）下列有关数列的说法正确的是（）①数列1，2，3可以表示成{1，2，3}；②数列1，0，1与数列1，0，1是同一数列；③数列1n的第1k项是11k；④数列中的每一项都与它的序号有关．A．①②B．③④C．①③D．②④2．（2022·全国·高三专题练习）九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一.”在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1=1，且an=1121,22,nnanan为偶数，为奇数，则解下4个环所需的最少移动次a4数为（）A．7B．10C．12D．223．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na满足13a，111nnaann，则na（）A．14nB．14nC．12nD．12n4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列{an}满足2121nnnaaa，且a1=1，a2=5，则18a（）A．69B．105C．204D．2055．（2020·全国·高三阶段练习（文））在数列na中，12a，11ln1nnaan，则2020a（）.A．2ln2020B．22019ln2020C．22020ln2020D．2020ln20206．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na满足11a，1nnnanaa，则数列na的通项公式为na（）A．21nB．11nnnC．2nD．n7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na满足113a，12321nnnaan(2n，*nN)，则数列na的通项na（）A．2141nB．2121nC．12123nnD．113nn8．（2022·全国·高三专题练习）若nS为数列na的前n项和，且22nnSa，则na等于（）A．2nB．2nC．12nD．12n9．（2021·安徽·高三阶段练习（文））数列na中的前n项和22nnS，数列2logna的前n项和为nT，则20T（）.A．190B．192C．180D．18210．（2022·全国·高三专题练习）数列na满足211232223nnnaaaa，则na（）A．13nB．3nnC．1123nD．1132n11．（2022·全国·高三专题练习）设数列na的前n项和为nS，若213nnnaSS3n，且21a，33a，则2021a（）A．4041B．4039C．2021D．201912．（2022·全国·高三专题练习）数列{}na的前n项和为nS，若11a，13(1)nnaSn…，则na等于（）A．34nB．341nC．21,(1)34,(2)nnn…D．21,(1)341,(2)nnn…13．（2021·全国·高三专题练习（理））在数列{}na中，11a，122nnnaaa，n+N，则na（）A．21nanB．21nnanC．12nnanD．221nnan14．（2022·全国·高三专题练习）数列1111,,,,57911的通项公式可能是an＝（）A．1(1)23nnB．1(1)32nnC．(1)32nnD．(1)23nn二、多选题15．（2022·全国·高三专题练习）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则（）A．an＝－112nB．an＝*1,1,11,2,1nnnNnnC．数列1nS为等差数列D．20110111+..SSS－505016．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}na的前n项和为nS，11a，121nnnSSa，数列12nnnaa的前n项和为nT，那么下列选项正确的是（）A．数列{1}na是等比数列B．数列{}na的通项公式为21nnaC．2nnSnD．1nT三、填空题17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na，11a，1*12Nnnnaan，则na________．18．（2021·河北·高三阶段练习）已知数列na的前n项和记作nS，232nSnn，则na________．19．（2021·山西省长治市第二中学校高三阶段练习（理））已知数列{}na的各项均为正数，其前n项和为nS，且满足221nnnaaS，则满足110na的最大的正整数n等于_________．20．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na的前n项和为nS且满足1302nnnaSSn，113a，则nS______．21．（2022·全国·高三专题练习）若数列na满足138nnaa，且16a，则数列na的通项公式为na_________.22．（2021·江西·高三阶段练习（文））若正项数列na满足22112,441nnnaaaa，则数列na的通项公式是_______．23．（2021·全国·模拟预测（文））已知数列na的前n项和为nS，且2nnSan，则na___________.24．（2021·全国·高三专题练习（文））已知数列{}na满足12a，且136nnaa，则na________________.25．（2021·全国·高三专题练习（理））以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.此表由若干个数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和.若每行的第一个数构成有穷数列na，则得到递推关系21122,1nnnaaa.则7a___________.26．（2021·甘肃·西北师大附中高三阶段练习）已知数列{}na满足*1111,()10nnnnaaaaanN，则2nnna的最小值为___________.四、解答题27．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知数列{an}满足：111,21nnnnaaanNa，求{an}的通项公式；（2）在数列{an}中，已知a1=3，（3n+2）an+1=（3n-1）an（n∈N*），an≠0，求an.28．（2022·浙江·高三专题练习）（1）已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋1n(n1)，n∈N*，求通项公式an；（2）设数列{an}中，a1＝1，an＝1(1)nan－1(n≥2)，求通项公式an.29．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na满足12a，*12,nnnananN，求数列na的通项公式.30．（2021·山东·济宁市教育科学研究院高三期末）已知数列na的前n项和为nS，且432nnaS．（1）求数列na的通项公式；（2）设2lognnnbaa，求数列nb的前n项和nT．31．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na的前n项和为nS，且满足3nnaSn，求数列na的通项公式.32．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等差数列na的前n项和为nS，满足*162NnnnnaSa，12a，（1）求数列na的通项公式；（2）若11lgnnnnaba，记数列nb的前n项和nT，求33T.33．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的数列na的前n项和为nS，且22nnnSaa*nN.（1）求数列na的通项公式；（2）若111nnnnnbaaaa，求数列nb的前n项和nT.34．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列na的前n项和为132nnSm.（1）求m的值，并求出数列na的通项公式；（2）令3(1)lognnnba，设nT为数列nb的前n项和，求2nT.35．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na的前n项和为nS，24a，1122nnSa．（1）证明：数列2nS为等比数列，并求出nS；（2）求数列1na的前n项和nT．