第22讲 解三角形（解析版）

第22讲解三角形【知识点总结】1.角的关系180,sinsin()ABCABCocoscos(),tantan(),ABCABCsincos,cossin.2222ABCABC2.正弦定理2(2sinsinsinabcRRABC为ABC的外接圆的直径）.正弦定理的应用：①已知两角及一边求解三角形.②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：若ab,已知角Ａ求角Ｂ.无解；两解（一锐角、一钝角）1,sin1,21,BB若ab,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.3.余弦定理2222coscababC（已知两边a,b及夹角Ｃ求第三边c）222cos2abcCab（已知三边求角）.余弦定理的应用：①已知两边及夹角求解第三边；②已知三边求角；③已知两边及一边对角未知第三边.4.三角形面积公式1111sinsinsin.2222ABCSahabCbcAacB【典型例题】例1．（2022·浙江·高三专题练习）ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，30A，3a，若这个三角形有两解，则b的取值范围是（）A．36bB．36bC．6bD．6b【答案】B【详解】因为这个三角形有两解，故满足sinbAab，即sin303bb，解得36b.故选：B例2．（2022·浙江·高三专题练习）已知ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足coscosbCacB，则该三角形的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】C【详解】因为coscosbCacB，由正弦定理可得：sincossinsincosBCACB，所以sincossincossin()BCCBBC，所以sin()sin()BCBC，所以BCBC或BCBC，即0C(舍去)或2B，故ABC为直角三角形，故选：C例3．（2022·全国·模拟预测）已知ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc.且sinsinsinsinsin,2sinaBCbBaAcCaA，在①ABC的周长为6；②sin2sinBC；③sinsin3bCcB这三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题.（1）求A；（2）求ABC的面积.注:如果选择多个条件分别解答﹐按第一个解答计分.【解析】（1）由正弦定理及sinsinsinsinsinsinaBCbBaAcCA，得222babcc，即222bcabc，由余弦定理得2221cos22bcaAbc，由于0,A，所以3A（2）选①:由ABC的周长为6，得64bca，由（1）得2222(31)6abcbcbcbc3,bc所以21643abc，所以ABC的面积为113sin43222SbcA.选②:由正弦定理及sin2sin,BC得2bc，由余弦定理得，2222222423abcbccccc，即243c，解得233c所以4323bc，所以ABC的面积为114323323sin223323SbcA.选③:由正弦定理及sinsin3bCcB，得sinsinsinsin3()BCCB，因为0C，所以sin0C，所以sinsin()3BB，即13sinsincos22BBB，整理可得tan3B，因为0B，则3B，所以ABC为等边三角形，所以ABC的面积为2113sin43222SaA.例4．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，13b．（1）若3sin4sinCA，求c的值；（2）求ac的最大值．【详解】（1）由角A、B、C的度数成等差数列，得2B＝A＋C．又ABC＋＋＝，∴3B＝．由正弦定理，得34ca＝，即34ca＝．由余弦定理，得2222cosbacacB，即22331132442cccc，解得4c．（2）由正弦定理，得13213sinsinsin332acbACB，∴213sin3aA，213sin3cC．∴213213sinsinsinsin33acACAAB213π21333πsinsinsincos213sin322633AAAAA．由203A，得5666A．所以当ππ=62A时，即=3A时，max213ac．例5．（2022·上海·高三专题练习）如图，在ABC中，45B，点D在BC边上，且2CD，3AD，1cos3ADC（1）求AC的长；（2）求sinBAD的值.【详解】（1）2CD，3AD，1cos3ADC，在ADC中，由余弦定理得222222321cos22323ADCDACACADCADCD，29,3ACAC（2）1cos3ADC，所以22sin3ADC，又由题意可得=BADADCB，sin=sin()sincoscossinBADADCBADCBADCB222124232326例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()4cossin33fxxx骣琪=-+琪桫．（Ⅰ）求函数fx在区间,42上的值域．（Ⅱ）在ABC中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角，3fC，且2c，求ABC面积的最大值．【详解】解：（Ⅰ）()4cossin()33fxxx4cossincoscossin333xxx134cossincos322xxx22sincos23cos3xxxsin23cos22sin(2)3xxx，由42x剟，有22633x剟，所以1sin2123x函数()fx的值域为1,2．（Ⅱ）由3fC，有3sin(2)32C，C为锐角，233C，3C．2c，由余弦定理得：224abab，222abab…，224ababab…．13sin324ABCSabCab„，当ab，即ABC为正三角形时，ABC的面积有最大值3．【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，若22sincoscossinaABbAB，则ABC的形状为（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】由已知条件，结合正弦定理得sin2sin2AB，有AB或2AB，即可知正确选项.【详解】由22sincoscossinaABbAB知：22sincossinsincossinABAABB，即sincossincosAABB，∴sin2sin2AB，即22AB或22AB，∴AB或2AB，故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，60A，1b，3ABCS，则2sin2sinsinabcABC的值等于（）A．2393B．2633C．833D．23【答案】A【分析】根据面积公式及余弦定理求出a，以及根据正弦定理变形2sin2sinsinsinabcaABCA，进一步求出答案.【详解】1sin2SbcA∴2234sin32ScbA∴22212cos116214132abcbcA，∴13a∴2sin2sinsinsinabcaABCA13239332.故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc满足222bcabc且3a，则sinbB（）A．2B．3C．4D．23【答案】A【分析】先利用余弦定理求得3A，再利用正弦定理求解即可.【详解】由题222bcabc，2221cos222bcabcAbcbc,又0A，3A，32sinsin32baBA，故选：A.4．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，30A，3AB，1BC，则C等于（）A．3或23B．6或56C．6D．3【答案】A【详解】由正弦定理知sinsinBCABAC，∴13sinsin322ABCABC，∵0πC，CA，∴3C或23.故选：A.5．（2022·全国·高三专题练习）黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为3031m的建筑物,AB在它们之间的地面上的点(,,MBMD三点共线）处测得楼顶A､楼顶C的仰角分别是15和60,在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15，则估算黄鹤楼的高度CD为（）A．203mB．202mC．303mD．302m【答案】C【分析】分别在ABM，ACM△及CDMV应用正弦定理求解.【详解】在ABM中，15,AMB则602sin15ABAMm在ACM△中，因为151530,1806015(105)CAMCMA，所以1801053045MCA因为sinsinCMAMMACMCA，所以2602602CMm，故sin60303CDCMm.故选：C.6．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，若a=1，b=3，B=60°，则A=（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【答案】A【分析】根据正弦定理sinsinabAB的式子，代入题中数据算出1sin2A，结合△ABC中AB，可得A=30°.【详解】解：∵在△ABC中，B=60°，∴根据正弦定理sinsinabAB，可得sin1ssin601i3n2aBbA，又∵在△ABC中ab，可得AB，∴A=30°.故选：A.7．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC中，4BC，43AC，30A，则B（）A．30°B．30°或150C．60D．60或120【答案】D【分析】直接利用正弦定理计算即可得出答案.【详解】解：因为4BC，43AC，30A，sinsinBCACAB，所以143sin32sin42ACABBC，所以B60或120.故选：D.8．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，已知2220,acbacABC的外接圆半径为3,ABC的周长为9,则ac（）A．6B．9C．16D．24【答案】B【分析】首先由余弦定理可得2221cos22acbBac，所以3B，再由正弦定理可得2sin3bRB，根据周长为9，由22()39acacb即可得解.【详解】在ABC中，由2220,acbac可得222acbac，所以2221cos22acbBac，由0B可得3B，所以32sin2332bRB，由ABC的周长为9,所以9936acb，由2220,acbac可得22()39acacb，所以327ac，所以9ac，故选：B9．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，6,,sin2sin3BCABC.则ABC的面积为（）A．63B．6C．93D．42【答案】A【分析】由余弦