第25讲 空间向量与立体几何（解析版）

第25讲空间向量与立体几何【知识点总结】一、空间向量的数量积运算1.两向量夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作,ab，通常规定0,ab，如果,2ab，那么向量a，b互相垂直，记作ab.2.数量积定义已知两个非零向量a，b，则cos,abab叫做a，b的数量积，记作ab，即cos,ababab.零向量与任何向量的数量积为0，特别地，2aaa.3.空间向量的数量积满足的运算律：abab，abba（交换律）；abcabac（分配律）.二、空间向量的坐标运算及应用（1）设123,,aaaa，123,,bbbb，则112233,,abababab；112233,,abababab；123,,aaaa；112233abababab；112233//0,,abbababab；1122330abababab.（2）设111,,Axyz，222,,Bxyz，则212121,,ABOBOAxxyyzz.这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标.（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式.①已知123,,aaaa，123,,bbbb，则2222123aaaaa；2222123bbbbb；112233abababab；112233222222123123cos,ababababaaabbb；②已知111,,Axyz，222,,Bxyz，则222121212ABxxyyzz,或者,dABAB.其中,dAB表示A与B两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.（4）向量a在向量b上的射影为cos,abaabb.（5）设0nn是平面M的一个法向量，AB，CD是M内的两条相交直线，则0nAB，由此可求出一个法向量n（向量AB及CD已知）.（6）利用空间向量证明线面平行：设n是平面的一个法向量，l为直线l的方向向量，证明0ln，（如图8-155所示）.已知直线l（l），平面的法向量n，若0ln，则//l.（7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各取一个方向向量a，b，只要证明ab，即0ab.（8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.（9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直.（10）空间角公式.①异面直线所成角公式：设a，b分别为异面直线1l，2l上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则coscos,ababab.②线面角公式：设l为平面的斜线，a为l的方向向量，n为平面的法向量，为l与所成角的大小，则sincos,ananan.③二面角公式：nl设1n，2n分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则12,nn或12,nn（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cosnnnn.（11）点A到平面的距离为d，B，n为平面的法向量，则ABndn.【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱锥ABCD中，侧棱AB平面BCD，F为线段BD中点，23BCD，3AB，2BCCD.（1）证明：CF平面ABD；（2）设Q是线段AD上一点，二面角ABQC的正弦值为134，求DQDA的值.【详解】解：（1）因为BCCD，F为线段BD中点，所以CFBD.因为AB平面BCD，CF平面BCD，所以CFAB.又因为ABÌ平面ABD，BD平面ABD，ABBDB，所以CF平面ABD.（2）在三棱锥ABCD中，在平面BCD内作BECD于E.以B为原点建立如图空间直角坐标系.由题得0,0,3A，0,0,0B，3,1,0C，3,3,0D，3,3,3DA，0,0,3BA，3,1,0BC.设3,3,33,3,3(01)DQDA，所以3(1),3(1),3BQBDDQ.设1111,,xnyz，2222,,nxyz分别为平面ABQ，平面CBQ的一个法向量.则1100nABnDA，2200nBCnBQ.即1111303330zxyz，222223303(1)3(1)30xyxyz.不妨取13,1,0n，23,2,3(1)n.因为二面角ABQC的正弦值为134，则余弦值为34，所以12122212|33|3cos,42124(1)nnnnnn，解得12（舍）或14.因此，DQDA的值为14.例2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在等腰直角三角形PAD中，90A，8AD，3AB，B，C分别是PA，PD上的点，且//ADBC，M，N分别为BP，CD的中点，现将BCP沿BC折起，得到四棱锥PABCD，连结MN.（1）证明：//MN平面PAD；（2）在翻折的过程中，当4PA时，求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值.【解析】（1）在四棱锥PABCD中，取AB的中点E，连接EM，EN，因为M，N分别为BP，CD的中点，//ADBC，则MEPA，//ENAD，因为PA平面PAD，ME平面PAD，则//ME平面PAD，同理可得，//EN平面PAD，又MEENE，ME，EN平面MNE，故平面//MNE平面PAD，因为MN平面MNE，故//MN平面PAD；（2）因为在等腰直角三角形PAD中，90A，//ADBC，所以BCPA，则在四棱锥PABCD中，BCPB，BCAB，因为//ADBC，则ADPB，ADAB，又PBABB，PB，ABÌ平面PAB，故AD平面PAB，又PA平面PAB，故PAAD，因为8AD，3AB，4PA，则5PB，所以222ABPAPB，故PAAB，所以以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则(3B，0，0)，(0P，0，4)，(0D，8，0)，(3C，5，0)，故(3,0,4),(3,5,4),(0,8,4)PBPCPD，设平面PBC的法向量为(,,)nxyz，则3403540nPBxznPCxyz，令4x，则3z，故(4,0,3)n；设平面PCD的法向量为(,,)mabc，则8403540mPDbcmPCabc，令1b，则1a，2c，故(1,1,2)m，所以222||106|cos,|||||343112mnmnmn，故平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为63.例3．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，E为线段11AB的中点，F为线段AB的中点.（1）求点B到直线1AC的距离；（2）求直线FC到平面1AEC的距离.【详解】以1D为原点，11111DADCDD，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则1111,0,11,1101,10)10101,,12()()()2(ABCCEF,,,，,,,,,,,，所以(0,1,0)AB，1(1,1,1)AC，)10,,12(AE，11111,,01,,0,,02)2(),(),2(0ECFCAF.（1）取(0,1,0)aAB，1131,1,13ACuAC，则231,3aau.所以，点B到直线1AC的距离为2216133aau.（2）因为111,,02FCEC，所以1//FCEC，所以//FC平面1AEC.所以点F到平面1AEC的距离为直线FC到平面1AEC的距离.设平面1AEC的法向量为(,,)nxyz，则100nAEnEC所以102102yzxy所以2xzyz取1z，则1,2xy.所以，(1,2,1)n是平面1AEC的一个法向量.又因为(0)1,,02AF，所以点F到平面1AEC的距离为1,,0,2,1626(0(6)1)AFnn.即直线FC到平面1AEC的距离为66.例4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，PB底面ABCD，底面ABCD为梯形，//ADBC，ADAB，且3,1PBABADBC．（Ⅰ）若点F为PD上一点且13PFPD，证明：//CF平面PAB；（Ⅰ）求二面角BPDA的大小；（Ⅰ）在线段PD上是否存在一点M，使得CMPA?若存在，求出PM的长；若不存在，说明理由．【详解】（Ⅰ）过点F作//FHAD，交PA于H，连接BH，因为13PFPD，//HFAD，所以13HFADBC．又//FHAD，//ADBC，所以//HFBC．所以BCFH为平行四边形,所以//CFBH．又BH平面PAB，CF平面PAB，所以//CF平面PAD．（Ⅰ）因为梯形ABCD中，//ADBC，ADAB，所以BCAB．因为PB平面ABCD，所以PBABPBBC，,如图，以B为原点，,,BCBABP所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系,所以(1,0,0),(3,3,0),(0,3,0),(0,0,3)CDAP．设平面BPD的一个法向量为(,,)nxyz，平面APD的一个法向量为(,,)mabc,因为(3,3,3),(0,0,3),PDBP所以00nPDnBP，即333030xyzz，取1x得到(1,1,0)n，因为0,3,3AP，所以00mPDmAP，即3330330abcbc，令1b得(0,1,1)m，所以1cos,2mnnmnm,因为二面角BPDA为锐角，所以二面角BPDA为3；（Ⅰ）假设存在点M，设(3,3,3)PMPD，其中01≤≤，所以(13,3,33)CMCPPD，所以93(33)0AMPC，解得12，所以存在点M，且13322PMPD．例5.（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCDABCD中，E为1BB的中点.（1）证明：1//BC平面1ADE；（2）求直线1BC到平面1ADE的距离；（3）求平面1ADE与平面ABCD夹角的余弦值.【详解】如图建立空间直角坐标系Axyz，设正方体的棱长为2则(0,0,0)A，(0,2,0)B，1(2,0,2)D，1(2,2,2)C，(0,2,1)E，（1）设平面1ADE的法向量为1111(,,)nxyzur，100nADnAE22020xzyz，令1x，则1,z1,2y111,,12n，1(2,0,2)BC，111(2,0,2)1,,12202CnB，11BCn，1CB面1ADE1//BC平面1ADE.（2）1//BCQ平面1ADE，直线1BC到平面1ADE的距离即为点B到平面1ADE的距离，(0,2,0)AB，111,,12n，11ABndn=10120(1)21114=23，直线1BC到平面1ADE的距离为23.（3）平面ABCD的一个法向量为(0,0,2)n，设平面1ADE与平面ABCD夹角为，111,,12n，111cos