第34讲 圆的方程（解析版）

第34讲圆的方程【知识点总结】一、基本概念平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆.二、基本性质、定理与公式1.圆的四种方程（1）圆的标准方程：222()()xaybr，圆心坐标为(a,b)，半径为(0)rr（2）圆的一般方程：22220(40)xyDxEyFDEF，圆心坐标为,22DE，半径2242DEFr（3）圆的直径式方程：若1122(,),(,)AxyBxy，则以线段AB为直径的圆的方程是1212()()()()0xxxxyyyy（4）圆的参数方程：①222(0)xyrr的参数方程为cossinxryr（为参数）；②222()()(0)xaybrr的参数方程为cossinxarybr（为参数）.注对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为(cos,sin)arbr（为参数，(a,b)为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.2.点与圆的位置关系判断（1）点00(,)Pxy与圆222()()xaybr的位置关系：①222()()xaybr点P在圆外；②222()()xaybr点P在圆上；③222()()xaybr点P在圆内.（2）点00(,)Pxy与圆220xyDxEyF的位置关系：①2200000xyDxEyF点P在圆外；②2200000xyDxEyF点P在圆上；③2200000xyDxEyF点P在圆内.三、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交四、直线与圆的位置关系判断1.几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心(,)ab到直线0AxByC的距离，则22||AaBbCdAB：则dr直线与圆相交，交于两点,PQ，22||2PQrd；dr直线与圆相切；dr直线与圆相离2.代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由2220()()AxByCxaybr，消元得到一元二次方程20pxqxt，20pxqxt判别式为，则：则0直线与圆相交；0直线与圆相切；0直线与圆相离.五、两圆位置关系的判断用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆12,OO的半径分别是,Rr，（不妨设Rr），且两圆的圆心距为d，则：则dRr两圆相交；dRr两圆外切；RrdRr两圆相离dRr两圆内切；0dRr两圆内含（0d时两圆为同心圆）【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知圆C的圆心在直线6yx上，且与直线:10lxy相切于点2,3，则圆C方程为（）A．221618xyB．2218xyC．221618xyD．221612xy【答案】C【详解】设圆心为,6mm，则圆心与点2,3的连线与直线l垂直，即63112mm，则点1m，所以圆心为1,6，半径22126332r，所以方程为221618xy，故选：C例2．（2022·全国·高三专题练习）点P在圆221:1Cxy上，点Q在圆222:3416Cxy上，则（）A．PQ的最小值为0B．两圆公切线有两条C．两个圆心所在的直线斜率为43D．两个圆相交弦所在直线的方程为3450xy【答案】AC【详解】由圆的方程知：圆1C的圆心10,0C，半径11r；圆2C的圆心23,4C，半径24r；22121203045CCrr，两圆外切；对于A，若,PQ重合，为两圆的切点，则min0PQ，A正确；对于B，两圆外切，则公切线有3条，B错误；对于C，12404303CCk，C正确；对于D，两圆相外切，两个圆不存在相交弦，D错误.故选：AC.例3．（2022·全国·高三专题练习）求圆心在直线0xy上，且过两圆22210240xyxy，22xy2280xy交点的圆的方程．【详解】依题意可得，圆心在圆22210240xyxy和圆222280xyxy公共弦的垂直平分线上．联立2222210240{2280xyxyxyxy，解得40{,{02xxyy，则两圆交点为(4,0),(0,2)，则其公共弦的垂直平分线为2(2)1yx，即230xy所以圆心是直线230xy与直线0xy的交点，联立0{230xyxy，解得3{3xy．则圆半径22(34)(30)10r所以圆方程为22(3)(3)10xy例4．（2021·湖南·攸县第三中学高三阶段练习）已知圆C的方程：22240xyxym.（1）求m的取值范围；（2）当圆C过A(1，1)时，求直线:240lxy被圆C所截得的弦MN的长.【详解】解：（1）圆C的方程可化为22(1)(2)5xym令50m得5m（2）∵圆C过A(1，1)代入得4m，圆C方程为22(1)(2)1xy圆心C(1，2)，半径1r,圆心C(1，2)到直线:240lxy的距离为1445514d∴1452155MN.例5．（2020·江苏·高三专题练习）ABC的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),ABC求它的外接圆的方程．【详解】设所求圆的方程为：220xyDxEyF，则圆经过(5,1),(7,3),(2,8)ABC三点22222251507373028280DEFDEFDEF，解之得4612DEF.所以所求圆的方程为：2246120xyxy.例6．（2020·全国·高三专题练习）已知圆C：（x+2）2+y2＝5，直线l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R.（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与圆C交于,AB两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.【详解】（1）直线l：120mxym，也即12ymx，故直线恒过定点2,1，又222215，故点2,1在圆C内，此时直线l一定与圆C相交.（2）设点,Mxy，当直线AB斜率存在时，12ABykx，又2MCykx，1ABMCkk，即1122yyxx，化简可得：22112,224xyx；当直线AB斜率不存在时，显然中点M的坐标为2,1也满足上述方程.故M点的轨迹方程为：2211224xy.例7．（2021·全国·高三专题练习（理））已知点(2,2),(2,6),(4,2)ABC，点P在圆22:4Exy上运动.（1）求过点C且被圆E截得的弦长为22的直线方程；（2）求222||||||PAPBPC的最值.【详解】(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点C且被圆E截得的弦长为22,所以圆心到直线的距离为2,设直线方程为2(4)ykx,即420kxyk,所以2|42|21kk,解得17k或1k所以直线方程为7100xy或20xy.(2)设P点坐标为,xy则224xy.222222222||||||(2)(2)(2)(6)(4)(2)PAPBPCxyxyxy223468804xyyy因为22y≤≤,所以7280488y,即222||||||PAPBPC的最大值为88,最小值为72.例8．（2021·辽宁·沈阳二中高三阶段练习）已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.（1）求两圆公共弦所在直线的方程；（2）求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.【详解】解：（1）设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组2222640?6280xyxxyy的解，两式相减得x－y＋4＝0，A，B两点坐标都满足此方程，x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程；(2)解方程组2222640?6280xyxxyy得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2)，设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，所以b＝a－4，则22(1)(43)aa＝22(6)(42)aa，解得a＝12，所以圆心为17,22，半径为892，所以圆的方程为212x＋272y＝892，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.例9．（2021·全国·高三专题练习）求与圆2248150xyxy切于点(3,6)A，且过点(5,6)B的圆的方程.【详解】设与圆2248150xyxy切于点(3,6)A的圆系方程为：22224815(3)(6)0xyxyxy.以点(5,6)B代入，求得2.2222481526912360xyxyxxyy，化简即得所求圆的方程为22816750xyxy.例10．（2021·全国·高三专题练习（理））已知点(4,0),(2,0)AB，动点P满足||2||PAPB.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）求经过点(2,2)M以及曲线C与224xy交点的圆的方程.【详解】(1)设(,)Pxy,因为(4,0),(2,0)AB,||2||PAPB,所以2222(4)2(2)xyxy,整理得2280xyx,所以曲线C的方程为2280xyx.(2)设所求方程为2222480xyxyx,即22(1)(1)840xyx,将(2,2)M代入上式得22(1)2(1)(2)8240,解得12,所以所求圆的方程为2288033xyx.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习（理））己知圆C经过A（5，2），B（－1，4）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是（）A．（x－2）2+y2=13B．（x+2）2+y2=17C．（x+1）2+y2=40D．（x－1）2+y2=20【答案】D【分析】设圆心坐标为(,0)a，由圆心到,AB距离相等求得a，然后再求出半径后可得．【详解】由题意，设圆心坐标为(,0)a，则2222(5)(02)(1)(04)aa，解得1a，圆半径为22(15)(02)25r．所以圆方程为22(1)20xy．故选：D．2．（2021·新疆昌吉·高三阶段练习（理））圆22(1)(2)2xy关于直线:10lxy对称的圆的方程为（）A．22(1)(3)2xyB．22(1)(3)2xyC．22(3)(2)2xyD．22(3)(2)2xy【答案】C【分析】圆关于直线的对称圆问题，第一步求圆心关于直线的对称点，半径不变，第二步直接写出圆的方程.【详解】圆22(1)(2)2xy的圆心(1,2)半径为2，由:10lxy得1lk设对称点的坐标为(,)mn，利用两圆心的连线与直线垂直，两圆心的中点在直线上列方程求解，211{121022lnkmmn，化简得1050mnmn，解得32mn所以对称圆的方程为22(