第37讲 圆锥曲线常规解答题（原卷版）

第37讲圆锥曲线常规解答题【知识点总结】一、直线l与圆锥曲线C的位置关系的判断判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程0AxByc代入圆锥曲线C的方程,0Fxy,消去y(也可以消去x)得到关系一个变量的一元二次方程,,即0,0AxBycFxy,消去y后得20axbxc(1)当0a时,即得到一个一元一次方程,则l与C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线平行;若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴平行(2)当0a时,0,直线l与曲线C有两个不同的交点;0,直线l与曲线C相切,即有唯一的公共点(切点);0,直线l与曲线C二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线:,0lfxy,曲线:F,0,A,BCxy为l与C的两个不同的交点,坐标分别为1122,,,AxyBxy,则1122,,,AxyBxy是方程组,0,0fxyFxy的两组解,方程组消元后化为关于或yx的一元二次方程20AxBxc(0A),判别式24BAC,应有0,所以12,xx是方程20AxBxc的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,BCxxxxAA,所以,AB两点间的距离为22221212121141ABkxxkxxxxkA,即弦长公式,弦长公式也可以写成关于y的形式2221212121140ABkyykyyyyk三、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量.（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数.（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值.求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值.四、求最值问题常用的两种方法（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法.（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值.求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法.五、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视”（1）重视定义在解题中的作用(把定义作为解题的着眼点).（2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用.（3）重视根与系数的关系在解题中的作用(涉及弦长、中点要用根与系数的关系).【典型例题】例1．（2020·全国·高三专题练习）设抛物线C：22(0)xpyp的焦点为F，(,1)Mpp是C上的点．（1）求C的方程：（2）若直线l：2ykx与C交于A，B两点，且13AFBF，求k的值．例2．（2020·全国·高三专题练习）已知椭圆222210xyabab过点0,2M，离心率63e.（1）求椭圆的方程；（2）设直线1yx与椭圆相交于A、B两点，求AMBS.例3．（2021·宁夏·海原县第一中学高三期末（理））设椭圆2222:10xyCabab过点0,4，离心率为35（1）求C的方程；（2）求过点3,1M且以M点为中点的弦的方程．例4．（2021·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）已知双曲线:E2221(0)yxbb的离心率为2．（1）求双曲线E的方程；（2）设点P(0，－3)，过点Q(0，1)的直线l交E于不同的两点A，B，求直线PA，PB的斜率之和．例5．（2021·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系xOy中，设点(1,0)F，直线l：1x，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQFP，PQl．（1）求动点Q的轨迹C的方程；（2）直线4xmy与曲线C交于A，B两点，OAOB是否为定值，若是求出该定值，若不是说明例6．（2020·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的两点A，B，且l不过原点．（1）若OAOB＝－4，证明直线l必过定点，并求出定点坐标；（2）若OA⊥OB，证明直线l必过定点，并求出定点坐标；（3）若直线l始终过点(1，0)，证明：OAOB为定值，并求定值．例7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22122:10xyCabab的离心率为22，椭圆1C的长轴是圆222:2Cxy的直径.（1）求椭圆1C的标准方程；（2）过椭圆1C的右焦点F作两条相互垂直的直线1l，2l，其中1l交椭圆1C于P，Q两点，2l交圆2C于M，N两点，求四边形PMQN面积的取值范围.【技能提升训练】1．（2021·全国·高三专题练习（文））已知椭圆的长轴在x轴上，长轴长为4，离心率为32，（1）求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.（2）直线220xy与椭圆交于,AB两点，求,AB两点的距离.2．（2021·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知椭圆22:14xWy，直线l过点(0,2)与椭圆W交于两点,AB，O为坐标原点.（1）设C为AB的中点，当直线l的斜率为32时，求线段OC的长；（2）当△OAB面积等于1时，求直线l的斜率.3．（2020·全国·高三专题练习）经过椭圆2212xy的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求AB的长.4．（2021·福建省厦门集美中学高三阶段练习）椭圆2222:1(0)xyEabab的左右焦点分别为1F，2F，焦距为22，O为原点.椭圆E上任意一点到1F，2F距离之和为23.（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点(02)P，的斜率为2的直线l交椭圆E于A､B两点，求OAB的面积.5．（2021·全国·高三专题练习）已知①如图，长为23，宽为12的矩形ABCD，以A､B为焦点的椭圆2222:1xyMab恰好过CD两点②设圆22(3)16xy的圆心为S，直线l过点(3,0)T，且与x轴不重合，直线l交圆S于CD两点，过点T作SC的平行线交SD于M，判断点M的轨迹是否椭圆（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆M的标准方程；（2）根据（1）所得椭圆M的标准方程，若直线:2lykx与椭圆相交于P､Q两点，求POQS△的最值.6．（2021·吉林·长春市第二实验中学高二阶段练习）点,Mxy与定点2,0F的距离和它到定直线8x的距离的比是1:2．（1）求点M的轨迹方程．（2）求轨迹M的以2,1为中点的弦所在直线方程．7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆C：22221(0)xyabab的左､右焦点分别为1F，2F，离心率为22，过点1F的直线l交椭圆C于A，B两点，AB的中点坐标为21(,)33.（1）求椭圆C的标准方程；（2）求2AFB的面积.8．（2021·全国·高三专题练习（理））已知焦点在x轴上的椭圆C：222210)xyabab（，短轴长为23，椭圆左顶点到左焦点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，已知点2(,0)3P，点A是椭圆的右顶点，直线l与椭圆C交于不同的两点,EF，,EF两点都在x轴上方，且APEOPF．证明直线l过定点，并求出该定点坐标．9．（2021·全国·高三专题练习）已知直线:43100,lxy半径为2的圆C与直线l相切,圆心C在x轴上且在直线l的上方.（1）求圆C的方程;（2）设过点1,1P的直线1,l被圆C截得弦长等于23,求直线1l的方程;（3）过点1,0M的直线与圆交于,AB两点（A在x轴上方）,问在x轴正半轴上是否存在点N,使得x轴平分ANB?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.10．（2017·陕西渭南·二模（理））已知,PQ是椭圆2222:10xyEabab上关于原点O对称的任意两点，且点,PQ都不在x轴上.（1）若,0Da，求证:直线PD和QD的斜率之积为定值；（2）若椭圆长轴长为4，点0,1A在椭圆E上，设,MN是椭圆上异于点A的任意两点，且AMAN.问直线MN是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.11．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：22221xyab(a＞b＞0)的右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，且其离心率为12．（1）求椭圆C的方程．（2）已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN中点为P，问：kMN·kOP(O为坐标原点)是否为定值？请说明理由．12．（2021·全国·高三专题练习）已知①如图，长为23，宽为12的矩形ABCD，以A､B为焦点的椭圆2222:1xyMab恰好过CD两点②设圆22(3)16xy的圆心为S，直线l过点(3,0)T，且与x轴不重合，直线l交圆S于CD两点，过点T作SC的平行线交SD于M，判断点M的轨迹是否椭圆（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆M的标准方程；（2）根据（1）所得椭圆M的标准方程，记1A，2A分别是椭圆M左､右顶点，若P是椭圆M上的动点，判断12APAPkk是否为定值，并说明理由.13．（2021·陕西·西安中学高三阶段练习（理））如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．14．（2022·全国·高三专题练习）已知AB是椭圆222210xyabab不垂直于x轴的任意一条弦，P是AB的中点，O为椭圆的中心.求证：直线AB和直线OP的斜率之积是定值.15．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学模拟预测（理））已知椭圆C：22221xyab（0a，0b），离心率为32，且点13,2在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C上的任意一点M（除短轴的端点外）与短轴的两个端点1B，2B的连线分别与x轴交于P，Q两点，求证OPOQ为定值．16．（2021·山西运城·模拟预测（理））已知1,2P在抛物线C：22ypx上.（1）求抛物线C的方程；（2）A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点.17．（2021·江苏·高三专题练习）已知焦点在x轴上的椭圆2221(0)9xybb的离心率e＝23，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，B1，B2分别是椭圆的上、下顶点，P是椭圆上任意一点（不与B1，B2，重合），O为坐标原点．（1）若线段PF1的中点在y轴上，求21PFPF的值；（2）若直线PB1，PB2分别与x轴交于点M，N，求证：|OM|•|ON|为定值．18．（2019·江西九江·二模（文））已知椭圆C：2222xyab=1（a＞b＞0）的离心率为22，其内接正方形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设M为椭圆C的右顶点，过点(33,0)且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．19．（2018·全国·一模（文））设12FF、为椭圆222:1(0)4xyCbb的左右焦点，M为椭圆上一点，满足12MFMF,已知三角形12MFF的面积为1.(1)求C的方程:(2)设C的上顶点为H,过点(2，-1)的直线与椭圆交于RS、两点(异于H),求证:直线HR和HS的斜率之和为定值，并求出这个定值.20．（2021·广西桂林·高三阶段练习（文））在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E中心在原点，焦距为2，右准线l的方程为3x.过2F的直线交E于A，B两点.（1）求椭圆E的方程；（2）若222AFF