第37讲 圆锥曲线常规解答题（解析版）

第37讲圆锥曲线常规解答题【知识点总结】一、直线l与圆锥曲线C的位置关系的判断判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程0AxByc代入圆锥曲线C的方程,0Fxy,消去y(也可以消去x)得到关系一个变量的一元二次方程,,即0,0AxBycFxy,消去y后得20axbxc(1)当0a时,即得到一个一元一次方程,则l与C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线平行;若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴平行(2)当0a时,0,直线l与曲线C有两个不同的交点;0,直线l与曲线C相切,即有唯一的公共点(切点);0,直线l与曲线C二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线:,0lfxy,曲线:F,0,A,BCxy为l与C的两个不同的交点,坐标分别为1122,,,AxyBxy,则1122,,,AxyBxy是方程组,0,0fxyFxy的两组解,方程组消元后化为关于或yx的一元二次方程20AxBxc(0A),判别式24BAC,应有0,所以12,xx是方程20AxBxc的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,BCxxxxAA,所以,AB两点间的距离为22221212121141ABkxxkxxxxkA,即弦长公式,弦长公式也可以写成关于y的形式2221212121140ABkyykyyyyk三、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量.（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数.（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值.求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值.四、求最值问题常用的两种方法（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法.（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值.求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法.五、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视”（1）重视定义在解题中的作用(把定义作为解题的着眼点).（2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用.（3）重视根与系数的关系在解题中的作用(涉及弦长、中点要用根与系数的关系).【典型例题】例1．（2020·全国·高三专题练习）设抛物线C：22(0)xpyp的焦点为F，(,1)Mpp是C上的点．（1）求C的方程：（2）若直线l：2ykx与C交于A，B两点，且13AFBF，求k的值．【详解】（1）因为,1Mpp是C上的点，所以221ppp，因为0p，解得2p，抛物线C的方程为24xy.（2）设11,Axy，22,Bxy，由224ykxxy得2480xkx，216320k则124xxk，128xx，由抛物线的定义知，11AFy，21BFy，则12121133AFBFyykxkx，2121239kxxkxx，24913k，解得1k.例2．（2020·全国·高三专题练习）已知椭圆222210xyabab过点0,2M，离心率63e.（1）求椭圆的方程；（2）设直线1yx与椭圆相交于A、B两点，求AMBS.【详解】解：（1）由题意得2b，63ca，结合222abc，解得212a所以椭圆的方程为：221124xy.（2）由2211241xyyx得223112xx即24690xx，经验证0.设11,Axy，22,Bxy.所以1232xx，1294xx，故221212310142ABkxxxx因为点M到直线AB的距离021222d，所以1131023522224AMBSABd△.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的方程，弦长公式等，考查运算能力，是基础题.例3．（2021·宁夏·海原县第一中学高三期末（理））设椭圆2222:10xyCabab过点0,4，离心率为35（1）求C的方程；（2）求过点3,1M且以M点为中点的弦的方程．【详解】（1）将0,4代入C的方程得2161b，∴b=4，又35cea得222925aba，即2169125a，∴5a，∴C的方程为2212516xy．（2）设直线与C的交点为A11,xy，B22,xy，代入椭圆方程得221122221251612516xyxy，作差化简可得2222121202516xxyy，即12121212++02516xxxxyyyy，又1212+32+12xxyy，则12121212+102516+yyyyxxxx，4825ABk以M点为中点的弦的方程:481(3)25yx,即：481692525yx.例4．（2021·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）已知双曲线:E2221(0)yxbb的离心率为2．（1）求双曲线E的方程；（2）设点P(0，－3)，过点Q(0，1)的直线l交E于不同的两点A，B，求直线PA，PB的斜率之和．【解析】（1）由2221yxb，则1a，因为2cea，解得2c，所以2223bca，所以双曲线E的方程为2213yx.（2）过点01Q，的直线l斜率显然存在，设l的方程为：1ykx，11,Axy，22,Bxy，将l的方程代入双曲线E的方程并整理得223240kxkx依题意230k，且0，所以24k且23k，因此，可得12223kxxk，12243xxk.121233PAPByykkxx121244kxkxxx121242xxkxx2283243kkkk220kk例5．（2021·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系xOy中，设点(1,0)F，直线l：1x，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQFP，PQl．（1）求动点Q的轨迹C的方程；（2）直线4xmy与曲线C交于A，B两点，OAOB是否为定值，若是求出该定值，若不是说明【详解】（1）R是线段PF与y轴的交点，直线l和y轴平行，则R是线段PF的中点，如图：又RQFP，于是QR是线段PF的中垂线，即得QPQF，而PQl，动点Q到点F的距离等于到直线l的距离，动点Q的轨迹是开口向右的抛物线，F是焦点，l是准线，依题意动点Q不能与O重合，故动点Q的轨迹C的方程24yx0x；（2）设11,Axy，22,Bxy，10y，20y，由244xmyyx得24160ymy，则124yym，1216yy，则有22212121212(16)(16)04416yyOAOBxxyyyy，所以OAOB为定值0．例6．（2020·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的两点A，B，且l不过原点．（1）若OAOB＝－4，证明直线l必过定点，并求出定点坐标；（2）若OA⊥OB，证明直线l必过定点，并求出定点坐标；（3）若直线l始终过点(1，0)，证明：OAOB为定值，并求定值．【详解】（1）设l：x＝ty＋b，代入y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.而OAOB＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＝b2－4b令b2－4b＝－4，∴b＝2.直线l过定点(2，0)．（2）若OAOB，则OAOB＝0，即b2－4b＝0，∴b＝4或b＝0(舍)∴直线l：x＝ty＋4，过定点(4，0)．（3）设l：x＝ty＋1，代入y2＝4x得y2－4ty－4＝0，∴y1＋y2＝4t，y1y2＝－4OAOB＝(t2＋1)y1y2＋t(y1＋y2)＋1＝－4(t2＋1)＋4t2＋1＝－3(定值)例7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22122:10xyCabab的离心率为22，椭圆1C的长轴是圆222:2Cxy的直径.（1）求椭圆1C的标准方程；（2）过椭圆1C的右焦点F作两条相互垂直的直线1l，2l，其中1l交椭圆1C于P，Q两点，2l交圆2C于M，N两点，求四边形PMQN面积的取值范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为22，椭圆1C的长轴是圆222:2Cxy的直径.所以2,2222caa，解得2,1,1acb，所以椭圆1C的标准方程2212xy；（2）由（1）知椭圆1C的右焦点F1,0，当直线1l的斜率不存在时，222,22bPQMNa，四边形PMQN面积我i122222S，当直线1l的斜率为0时，222,2PQaMN，四边形PMQN面积为1222222S，当直线1l的斜率存在且不为0时，设方程为1xmy，1122,,,PxyQxy，由22112xmyxy，得222210mymy，所以1212222122myyyymm，所以22212122221142mPQmyyyym，此时2l的方程为0mxym，坐标原点到2l的距离为21dmm，则2222222211mmMNmm，所以四边形PMQN面积为2222221122221mmSmm，22211222212,2222mmm，综上：四边形PMQN面积的取值范围是2,22.【技能提升训练】1．（2021·全国·高三专题练习（文））已知椭圆的长轴在x轴上，长轴长为4，离心率为32，（1）求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.（2）直线220xy与椭圆交于,AB两点，求,AB两点的距离.【答案】（1）2214xy，短轴长为2，焦距为23；（2）5.【分析】（1）由长轴得a，再由离心率求得c，从而可得b后可得椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立方程组求得交点坐标后可得距离．【详解】（1）由已知：2a，32ca，故3c，1b，则椭圆的方程为：2214xy，所以椭圆的短轴长为2，焦距为23.（2）联立2222014xyxy，解得1101xy，2220xy，所以(0,1)A，(2,0)B，故||5AB．2．（2021·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知椭圆22:14xWy，直线l过点(0,2)与椭圆W交于两点,AB，O为坐标原点.（1）设C为AB的中点，当直线l的斜率为32时，求线段OC的长；（2）当△OAB面积等于1时，求直线l的斜率.【答案】（1）375；（2）72【分析】（1）先求出l的方程，与椭圆方程联立，得到关于x的一元二次方程，结合韦达定理，可求出C的坐标，进而利用两点间的距离公式可求出答案；（2）易知直线l斜率存在，可表示出l的方程，与椭圆方程联立，得到关于x的一元二次方程，结合韦达定理，进而求出AB的表达式，及点O到直线l的距离d的表达式，结合1·12OABSdAB